6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей. Когда абсолютное движение тела является результатом относительного и переносного вращений с угловыми скоростями ивокруг осей О и Ов, пересекающихся в точке О, то скорость точки О, очевидно равна нулю.

Следовательно, результирующие движения тела является движением вокруг неподвижной точки О и для каждого элементарного

Рис. 2.45 промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О.

Чтобы определить вектор , вычислим скорость какой-нибудь точки М тела, радиус-вектор которой. В относительном движении вокруг оси Оа точка М получает скорость, в переносном же движении вокруг оси Ов точка получает скорость.

Следовательно, абсолютная скорость точки М равна

.

С другой стороны, так как результирующие движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловой скоростью , то должно быть.

Такие результаты будут получаться для всех точек тела (т.е. при любых ).

Отсюда заключаем, что

. (36)

Следовательно, при сложном вращении вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующие движение будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О, причем угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то последняя применяя полученное равенство (), придем к выводу, что результирующие движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

. (37)

6.5. Сложение поступательного и вращательного движений.

6.5.1. Скорость поступательного движения перпендикулярно к оси вращения (┴)

Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угловой скоростью и поступательного движения со скоростьюперпендикулярно к.

Можно видеть, что движение представляет собою (по отношению к плоскости, перпендикулярно к оси Аа) плоскопараллельное движение. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и

Рис. 2.46 всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью , т.е со скоростью полюса и вращательного вокруг оси Аа, проходящей через полюс.

Вектор можно заменить парой угловых скоростей(пара вращений), беря, а. При этом расстояние АР найдется из равенствас учетом, что

Векторы идают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси Р_р с угловой скоростью . Точка Р для сечения (S) тела является МЦС ().

Поворот тела вокруг осей А_а и Р_р происходит с одной и той же угловой скоростью , т.е. вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

6.5.2. Винтовое движение ().

Сложное движение слагается из вращательного вокруг оси А_а с угловой скоростью и поступательного со скоростью, направленной параллельно оси А_а. Такое движение называется винтовым. Ось А_а называется осью винта.

Когда векторы инаправлены в одну сторону, то винт будет правым; если в разные стороны – левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точки, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины ипостоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получими, откуда.

.

Рис. 2.46

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии r, складывается из поступательной скорости и перпендикулярной к ней скорости, получаемой во вращательном движении. Следовательно

.

Направлена скорость по касательной к винтовой линии.

(38)

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения.

Сложное движение, совершаемое телом в этом случае, представляет

собой общий случай движения свободного твердого тела.

Рис. 2.48

Разложим вектор на составляющие:

1). , направленную вдоль.

2). , перпендикулярную к.

Скорость можно заменить парой угловых скоростейи, после чего векторыиможно отбросить. расстояние АС найдем по формуле:

.

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью и поступательное движение со скоростью. Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси С_с с угловой скоростью и поступательной.

Проделанными операциями мы перешли от полюса А к полюсу С. Результат показывает, что в общем случае движения угловая скорость тела при перемене полюса не изменяется (), а меняется только поступательная скорость ().

Поскольку при движении свободного твердого тела величины

будут вообще все время меняться и положение оси С_с, которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей.