2.3. Расчет количественных показателей нелинейной динамики модельной электроэнцефалограммы

Был проведен расчет количественных показателей нелинейной динамики модельного ЭЭГ сигнала с использованием программы Tisean [57]. Найдены корреляционная размерность и характеристический показатель Ляпунова. Данные сведены в таблицы 2.3 и 2.4, соответственно.

Таблица 2.3.

Корреляционные размерности модельного ЭЭГ сигнала

Значения параметров	Состояние до «приступа»	Значения параметров	Состояние во время «приступа»	Значения параметров	Состояние после «приступа»
Рее= 11 Ге=0,0014	1,45	Рее= 439 Ге=0,00097	0,28	Рее= 1000 Ге=0,0008	3,78
Рее= 439 Ге=0,001232	3,36	Рее= 439 Ге=0,0008	1,04
Рее= 439 Ге=0,00098	2,17

Корреляционная размерность характеризует упорядоченность поведения исследуемой системы. Чем меньше корреляционная размерность восстановленного аттрактора, тем более детерминировано поведение системы. На основе анализа таблицы 2.3 можно сделать следующий вывод: так как значение корреляционной размерности во время «приступа» уменьшается, то, следовательно, поведение моделируемого сигнала упорядочивается. Хаотически, т.е. неупорядоченно, система ведет себя до и после моделируемого состояния «приступ». Это подтверждает результаты, полученные из анализа спектров и аттракторов.

Таблица 2.4

Максимальный характеристический показатель Ляпунова для исследуемого модельного ЭЭГ сигнала

Значения параметров	Состояние до «приступа»	Значения параметров	Состояние во время «приступа»	Значения параметров	Состояние после «приступа»
Рее= 11 Ге=0,0014	5,01 с-1	Рее= 439 Ге=0,00097	0,092 с-1	Рее= 1000 Ге=0,0008	3,41 с-1
Рее= 439 Ге=0,001232	4,08 с-1	Рее= 439 Ге=0,0008	-0,42 с-1
Рее= 439 Ге=0,00098	2,00 с-1

Так как максимальный характеристический показатель Ляпунова положителен для случаев до и после моделируемого состояния «приступ», то исследуемый моделируемый ЭЭГ сигнал можно отнести к хаотическому. Во время «приступа» значения максимального характеристического показателя Ляпунова флуктуирует в области нуля или отрицательно. Это говорит об упорядоченности системы, что соответствует выводам главы 2.2 и подтверждается видом спектра (рис. 2.8, а, б) и видом аттрактора (рис. 2.11, а, б).

2.4. Выводы по главе

Было проведено модельное исследование мезоскопических характеристик активности мозга человека. Смоделирована электрическая активность мозга, определены динамические показатели (корреляционная размерность, максимальный характеристический показатель Ляпунова), позволяющие отличить детерминированный хаос от случайного процесса; определены параметры модели, и, соответственно, описаны физиологические параметры, которые влияют на появление приступа. По результатам теоретического рассмотрения можно сделать следующие выводы:

1. Исследована математическая модель мезоскопической электрической активности мозга человека. Элементарная единица активности для модели – столбец кортекса сечением 1 мм² ~ 10⁵ нейронов.

2. Исследована мезоскопическая модель электрической активности мозга человека, представленная системой из восьми нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в безразмерной форме.

3. Выявлены два параметра, связанные с процессом возбуждения, с помощью которых можно вызвать приступоподобное состояние в модели: Р_ее и Г_е.

4. Модельное состояние «приступ» было определено как решение системы уравнений (1)-(8), для которых h_e подвергается устойчивым осцилляциям большой амплитуды (0,05 мВ).

5. Исследованы численно решения системы уравнений (1)-(8) для 11,0<P_ee<1000,0 и 0,4∙10-3<Г_e<1,5∙10-3, используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка с временным шагом 0,4 мс. Выявлены характерные значения Р_ее и Г_е.

6. Спектр мощности для каждого решения системы уравнений (1)-(8) во время «приступа» имеет единственный четко определенный пик, а до «приступа» спектр имеет сложный шумоподобный вид.

7. Проанализированы аттракторы системы для различных состояний мозга при вариации параметров Р_ее, Г_е, N_e,i^β, g_e,i. В нормальном состоянии электрической активности мозга аттрактор имеет сложный хаотичный вид переплетающихся траекторий. Во время приступа состояние системы упорядочивается, и аттрактор приобретает вид набора одиночных петель. После приступа обычно аттрактор имеет вид спирали, что соответствует затухающему колебательному процессу.

8. Рассчитаны модельные корреляционные размерности, которые принимали значения 1,45-3,78 до и после модельного состояния «приступ». Для «приступа» значения корреляционной размерности уменьшились в 5-3 раза.

9. Рассчитаны модельные максимальные характеристические показатели Ляпунова. До и после «приступа» они принимали значения в диапазоне 5,01-2,0 с^-1. Для «приступа» получены значения -0,42-0,092 с^-1, что говорит об упорядочивании системы во время данного события.

10. Анализ спектров и аттракторов позволяет сделать вывод об адекватности модели на основании смещения спектрального максимума и видов аттракторов.