1.5. Выводы по разделу

Литературный обзор, проведенный в разделах 1.1 – 1.4, показал, что изучение электрической активности мозга имеет давнюю историю, имеются модели, описывающие поведение как одиночного нейрона, так и совокупности. Нелинейная динамика и ее методы начали применяться для анализа ЭЭГ сравнительно недавно, тем не менее, полученные при этом результаты и показатели говорят о том, что данные методы являются перспективными и актуальными. Существуют приборы для регистрации ЭЭГ, в алгоритм действия которых заложен анализ электроэнцефалографических сигналов методами нелинейной динамики.

Следует отметить, что полученные в этих исследованиях результаты весьма противоречивы, еще отсутствует надежная методология исследования ЭЭГ методами нелинейной динамики.

На основании проведенного обзора и сделанных выводов сформулируем цель и задачи диссертационной работы.

Целью данной диссертационной работы является выявление новых диагностически значимых информативных признаков ЭЭГ сигнала методами нелинейной динамики, позволяющих проводить раннюю диагностику отклонений ЭЭГ от нормы.

Для реализации цели ставятся следующие задачи диссертационной работы:

1. Исследовать мезоскопическую модель суммарной электрической активности мозга методами нелинейной динамики в норме и при патологии (во время приступа).

2. Проанализировать нативный ЭЭГ сигнал на достоверность методов нелинейной динамики и выявить границы применимости.

3. Проанализировать базу нативных ЭЭГ сигналов (для условно здоровых пациентов и с отклонениями) методами нелинейной динамики, получить качественные и количественные характеристики.

4. Провести моделирование базы ЭЭГ сигналов и блока обработки ЭЭГ методами нелинейной динамики в среде Labview.

2. Анализ мезоскопической модели биоэлектрической активности мозга методами нелинейной динамики

2.1. Мезоскопическая модель электрической активности мозга

Как было описано в главе 1, ЭЭГ является одним из самых информативных показателей локальных и общих физиологических и патологических перестроек функционального состояния мозга человека.

В данной главе рассмотрены мезоскопические характеристики активности нейронов в кортексе.

Целью является модельное исследование мезоскопических характеристик активности мозга человека. Требуется смоделировать электрическую активность мозга, чтобы в дальнейшем определить, какие параметры этой модели (и, соответственно, физиологические параметры) влияют на появление приступа, и рассчитать динамические показатели (корреляционную размерность, максимальный характеристический показатель Ляпунова и др.).

На основании обзора существующих моделей, проведенного в первой главе, была выбрана для дальнейшего исследования математическая модель мезоскопической электрической активности мозга человека [11, 17, 20, 23, 25, 33]. В ее основе лежат усредненные свойства соседних нейронов. Правомерность использования этой модели обоснована в разделе 1.2.

Далее приведено краткое описание одной из наиболее полных математических моделей мезоскопической электрической активности нейронов коры – модели Штайн-Росса (Steyn-Ross, 2003) [11].

Чтобы смоделировать электрическую активность мозга человека, использовалась система из восьми нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в безразмерной форме [11, 17]. Эта система представлена ниже:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Динамические переменные (h_e, h_i, I_ee, I_ei, I_ie, I_ii, _e, _i) являются функциями безразмерного пространства x и времени t. Безразмерные переменные и параметры определены в таблицах 2.1 и 2.2, соответственно. Нормировка безразмерных переменных (левая колонка) представлена в средней колонке. Описание переменных приводится в правой колонке. Индексы e и i соответствуют процессам возбуждения и торможения. Сделаны следующие упрощения: τ_e=τ_i=τ, S_e^max=S_i^max=S^max и h_e^rest=h_i^rest=h^rest.

Таблица 2.1.

Переменные безразмерной модели

Переменные	Формула нормировки	Описание
he,i	he,i/hrest	Мембранный потенциал/ потенциал покоя
Iee,ie	Iee,ieγe/(Geexp(1)Smax)	Входные токи для клеток возбуждения
Iei,ii	Iei,iiγi/(Giexp(1)Smax)	Входные токи для клеток торможения
e,i	e,i/Smax	Мощность сигнала
t	t/τ	Время
x	x/(τv)	Координата

Таблица 2.2.

Значения констант безразмерной модели

Обозначение	Формула нормировки	Описание	Типичные значения
e, i		Индексы, обозначающие нейроны возбуждения (e) или торможения (i)
Γe,i	Ge,iexp(1)Smax/γe,i|he,irev-hrest|	Влияние мощности на значение мембранного потенциала	1,42∙10-3 – 0,0774
he,i0	he,irev/hrest	Обратный потенциал	-0,643 – 1,29
Te,i	Τγe,i	Константа	12,0 – 2,6
λe,i	τvΛee,ei	Безразмерная характеристика в инверсной шкале	11,2 – 18,2
Pee,ie	Pee,ie/Smax	Подкорковый потенциал возбуждения	11,0 – 16,0
Pei,ii	Pei,ii/Smax	Подкорковый потенциал торможения	16,0 – 11,0
Ne,iα	-	Общее число синаптических окончаний от удаленных клеток возбуждения	4000 – 2000
Ne,iβ	-	Общее число местных синаптических окончаний e и i	3034 – 536
ge,i	ge,ihrest	Наклон в точке сгиба передаточной функции	-19,6 – -9,8
θe,i	θe,i/hrest	Точка изгиба передаточной функции	0,857 – 0,857

Уравнение (1) определяет эволюцию безразмерного напряжения возбудительных нейронов через само напряжение (h_e), входной ток возбудительных нейронов (I_ee) и входной ток тормозных нейронов (I_ie). Уравнения (3) и (5) описывают динамические поведение входных токов. Входной ток возбуждающих нейронов (I_ee) устанавливается в соответствии с локальной мощностью (N_e^βS_e[h_e]), удаленной мощностью возбудительных нейронов коры (_e), подкорковой мощностью (P_ee) и стохастической мощностью (Γ₁). Член S_e[h_e] – безразмерная сигмоидальная передаточная функция, определяемая выражением

, (9)

которая необходима для преобразования локального напряжения возбудительных нейронов в среднюю скорость работы возбудительной популяции (непрерывно-импульсное преобразование). Мощность нейронов удаленного кортекса, которые всегда имеют возбудительный характер, описывается уравнением распространения (7) диффузного типа. Для вычисления неизвестных подкорковых мощностей добавляется последний член Γ₁ в (3), который определяется как безразмерная стохастическая мощность

, (10)

где ξ₁ – источник Гауссова белого шума с нулевым средним значением. Для вычислений аппроксимируем ξ₁ как

, (11)

где x=mΔx и t=nΔt, (m, n – целые числа), определяют пространственные и временные координаты в двухмерном пространстве, Δx и Δt соответственно. Аналогичные уравнения определены для динамики нейронов торможения (2), местных токов для нейронов торможения (4) и (6) и отдаленных возбудительных токов для нейронов торможения (8).

Основная переменная в модели – переменная h_e – усредненный по поверхности соматический мембранный потенциал возбудительных клеток кортекса. В уравнениях (1-8) представлен безразмерный параметр h_e = h^~_e·(-70 мВ), где мембранный потенциал нормируется на потенциал покоя. Экспериментальные данные ЭЭГ пропорциональны модельной переменной h_e.

Связь между совокупностями нейронов и характеризующие ее параметры модели, показаны на рис. 2.1 в виде схемы. Здесь показаны изменения в размерных величинах, перечисленных в таблице 2.2. Показана схема связей между двумя популяциями клеток, присутствующие внутри элементарном объеме кортексного пространства. Возбудительные и тормозные популяции изображены прямоугольниками слева и справа. Между популяции устанавливаются обратная связь и соответствующая синаптическая связь, которые изображены на рис. 2.1. Число и сила синапсов, сформированных каждой связью, изображены точками N_jk^β и треугольниками G_jk соответственно. Внутри прямоугольников изображены коэффициенты кинетики γ_jk вертикальной стрелкой, и разность потенциалов |h_jk^rev – h_k^rest| ≡ |∆h_jk|. Коэффициенты кинетики объединяют время соматической постсинаптической спайковой активности нейрона вследствие эффектов пассивной задержки дендритов и нейромедиаторного коэффициента кинетики. Разность потенциалов устанавливает связь синаптического входа с соответствующей разностью величин между реверсным потенциалом и потенциалом покоя. На рис. 2.1 показаны величины N_jk^β, G_jk и γ_jk и |∆h_jk|, которые влияют на динамику приступа. Чтобы вызвать приступ в динамике модели, мы можем увеличить размерные параметры, изображенные черным цветом, или уменьшить размерные параметры, изображенные серым цветом.

Рисунок 2.1. Две взаимосвязанные нейронные популяции (EX – возбудительные и IH - тормозные) и физиологические параметры, используемые в модели. Точки –синапсы, треугольники – пиковые амплитуды постсинаптических потенциалов, вертикальные стрелки внутри EX и IH – это константы [11].

Было исследовано, какие изменения параметров влияют на приступоподобные осцилляции в динамике. Для этого были зафиксированы семь параметров, им присвоены стандартные значения, далее незначительно изменялся один параметр и находилось численное решение системы уравнений (1) – (8), используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка с временным шагом 0,4 мс. Переменная h_e – наблюдаемая переменная, либо достигает устойчивого точного значения, либо испытывает осцилляции большой амплитуды. В первом случае тот же самый параметр изменялся на небольшую величину, и находилось другое численное решение. Расчет продолжался до тех пор, пока параметр не станет, например, отрицательным или пока h_e не станет подвергаться осцилляциям. Если малейшее изменение параметра будет влиять на осцилляции h_e, тогда можно сказать, что этот параметр вызывает приступ в модели. Результаты анализа изображены на рис. 2.2.

Рисунок 2.2. Схематическое представление связей между безразмерными переменными (h_e, h_i, I_ee, I_ei, I_ie, I_ii, _e, _i) и подкорковыми потенциалами (P_ee, P_ei, P_ie, P_ii) в модели. Жирной стрелкой показано увеличение P_ee [11]

Восемь прямоугольников изображают 8 модельных (безразмерных) переменных (h_e^~, h_i^~, I_ee^~, I_ei^~, I_ie^~, I_ii^~, _e^~ и _i^~), которые определены в табл. 2.1. Безразмерная переменная h_e связана с безразмерной переменной h_e^~ соотношением: h_e = -70мВ × h_e^~. Стрелки показывают связи между переменными, и между переменными и подкорковыми входами (P_ee, P_ei, P_ie и P_ii внизу рисунка). Так как P_ee увеличена примерно на 4000%, то стрелка, которая соединяет P_ee и I_ee^~ изображена жирной. Для того чтобы сымитировать «приступ» в модели изменялись параметры, перечисленные в табл. 2.2. На рисунке стрелками изображены связи между параметрами. Например, чтобы изменить силу связи от h_e^~ до I_ee^~ изменялся параметр N_ee^β. Было установлено, что приступоподобные осцилляции h_e^~ или h_e возникают, когда N_ee^β уменьшается на 28%. Приступ в модели начинается, когда увеличивается или уменьшается каждый из восьми параметров. Направление изменения показано на рис. 2.2; установлено, что приступоподобные осцилляции влияют на h_e, когда увеличивается сила связей, изображенных черным цветом пунктирными линиями, или уменьшается сила связей, изображенных серым цветом сплошными линиями. Отметим, что приступы появляются в модели из-за повышенной связи между двумя популяциями клеток (например, между возбудительными и тормозными популяциями) и уменьшенной связью внутри каждой популяции.