3.2. Тест на нелинейность. Теория замещения данных. Расчет мгновенной корреляционной размерности для реального сигнала и суррогатных данных
Определение нелинейности является одним из основных вопросов при анализе ЭЭГ. Предсказуемость – это выражение корреляции между данными. Это могут быть как линейные, так и нелинейные корреляции. Определение нелинейности необходимо при рассмотрении вопросов, связанных с уменьшением шума при построении суррогатных данных, а также при вычислении характеристических показателей Ляпунова.
Методы нелинейной динамики пригодны для тех случаев, где данные показывают устойчивые и последовательные нелинейные детерминистские свойства. Если в сигнале присутствует дополнительный шум, то соотношения будут нарушены, и прогноз будет ограничен [13, 14, 20, 29]. Большинство реальных временных рядов не попадает ни под одну из этих категорий, так как они содержат как нелинейные, так и стохастические компоненты одновременно. Такие случаи сложно исследовать с помощью известных методов нелинейной динамики. В основном, желательно применять стандартные, например, спектральные методы, а нелинейный анализ использовать в тех случаях, если имеются доказательства нелинейности [29, 30, 34]. Этот раздел посвящен методам, с помощью которых можно установить статистический характер нелинейности после изменения масштаба временного ряда.
Степень нелинейности можно оценить несколькими способами. Основная проблема заключается в нахождении ее количественного значения. Все количественные методы определения нелинейности являются неточными, а закон распределения аналитически оценить невозможно [29, 35, 46, 52-54]. Поэтому необходимо использовать вероятностные методы Монте-Карло, чтобы оценить результаты. Один из основных методов – это метод замещения данных. Его суть заключается в следующем. Сначала предполагают, что данные соответствуют стационарному линейному Гауссовскому процессу, а затем пытаются опровергнуть эту гипотезу путем сравнения полученных результатов с исходными данными. Так как такое предположение – не самое простое и появляются свободные параметры, то это учитывают выборкой Монте-Карло. Один из методов состоит в том, чтобы построить ограниченную реализацию данной гипотезы. Сущность состоит в том, что свободные параметры учитываются специфическими свойствами данных. Например, неизвестные коэффициенты авторегрессионного анализа учитываются в функции автокорреляции. Ограниченная реализация получается из случайной выборки данных, подвергающихся ограничению, так что соответствующий набор параметров остается постоянным. Например, могут быть получены случайные данные с заданным спектром, если предположить, что их фазы случайные и сделать обратное преобразование Фурье этого спектра. Данные случайной выборки с тем же самым распределением, что и заданный набор данных, могут быть получены беспорядочной перестановкой этих данных без замены. В этом случае вопрос о законе распределении является уже намного более сложным.
На практике мгновенное Гауссовское распределение имеют немногие временные ряды [29, 100-105, 107, 112, 120], в которых предполагается нелинейность. Неподчинение ряда этому распределению означает его нелинейность; что может также иметь и другое простое объяснение: данные, возможно, были искажены в процессе измерения. Таким образом, алгоритм исследования предполагается следующий: имеется стационарный Гауссовский линейный стохастический процесс, из которого получаем последовательность {xn}, а фактическая последовательность – Gn=G(xn), где Gn – монотонная функция. Ограниченная реализация этой гипотезы требовала бы построения случайной последовательности данных с тем же спектром мощности (полностью определяющим линейный процесс) и с тем же мгновенным распределением (определяющим исследуемую функцию), как и у исследуемых данных. Метод приведенного по амплитуде преобразования Фурье (AПФ) [29, 67, 82] заключается в преобразовании измеряемой функции Gn путем масштабирования данных по Гауссовскому распределению. Затем фазы Фурье-преобразования рандомизируются и масштабированный сигнал инвертируется. Эта процедура дает ровный спектр, так как точная инверсия Gn невозможна. Возможна схема, которая устраняет эту ошибку путем итерационного регулирования спектра и закона распределения данных замещения [11, 29, 30]. Затем замещенные данные масштабируются к точным значениям, заданным по условию, и применяется Фурье преобразование к точным значениям амплитуд, полученным из данных. Погрешность вычисления сходится или к нулю после нескольких итераций или к некоторому числу, которое тем меньше, чем больше длина временного ряда. Результаты двух последних этапов вычисления представляют собой значения после Фурье преобразования и исходные значения данных. При этом они должны быть практически одинаковы.
Для определения принадлежности участков нативных ЭЭГ сигналов к детерминированным по каждому из отведений рассчитывались мгновенные корреляционные размерности, и затем строились графики для реального сигнала и для суррогатных данных [69].
Суть метода суррогатных данных заключается в следующем [31, 92, 93, 95, 108-111, 113, 114]: для исследуемой временной реализации сигнала создается ансамбль (обычно пять или десять) суррогатных реализаций, являющихся случайными по своей природе, но обладающих точно такими же автокорреляционной функцией и дисперсией как у исходной реализации. На практике это достигается Фурье-преобразованием исходной реализации, изменением случайным образом фаз и обратным Фурье-преобразованием. Далее сравниваются результаты вычисления различных статистических характеристик (размерностей, корреляционных интегралов и пр.) для оригинального сигнала и его суррогатных реализаций. В результате спектры мощности как реального, так и суррогатного сигналов оказываются неразличимы, в то время как информация о нелинейности (если она имеет место) должна сохраняться в реальном сигнале и, соответственно, выявляться нелинейно-динамическим анализом.
Для реализации этого вида анализа использовалось программное обеспечение Tisean [20, 57].
На рис. 3.20 – 3.24 показаны примеры визуального представления исследуемых временных рядов. Здесь D2 – мгновенная корреляционная размерность исследуемого участка нативного ЭЭГ сигнала, D2sur – мгновенная корреляционная размерность временного ряда суррогатных данных.
Женщины:
Рисунок 3.20. Мгновенная корреляционная размерность для диагноза «невралгия». Отведение С4-А2.
Рисунок 3.21. Мгновенная корреляционная размерность для диагноза «рассеянный склероз». Отведение С4-А2.
Рисунок 3.22. Мгновенная корреляционная размерность для условно здорового пациента. Отведение С4-А2.
Мужчины:
Рисунок 3.23. Мгновенная корреляционная размерность для диагноза «лудомания». Отведение С4-А2.
Рисунок 3.24. Мгновенная корреляционная размерность для условно здорового пациента. Отведение С4-А2.
Для получения результата теста на нелинейность методом суррогатных данных необходимо сравнить зависимости мгновенной корреляционной размерности для участка нативной ЭЭГ и суррогатных данных.
Визуальное сравнение говорит о схожести зависимостей, например, рис. 3.21, 3.22, или их значительном расхождении, например, рис. 3.23. Однако, для точного сравнения этого недостаточно. Поэтому был предложен количественный критерий меры совпадения рядов D2 и D2sur. Были вычислены коэффициенты корреляции для рядов D2 и D2sur. Из теории известно, что значение коэффициента корреляции К>0,6 говорит об удовлетворительном, К>0,8 – о хорошем, К>0,95 – практически полном совпадении.
Результаты расчета коэффициента корреляции сведены в таблицу 3.1
Таблица 3.1
Коэффициент корреляции для рядов D2 и D2sur
|
Коэффициент корреляции, К |
Женщины |
Мужчины |
|
Условно здоровые |
0,80 |
0,65 |
|
0,61 |
0,60 | |
|
0,60 |
0,58 | |
|
0,78 |
| |
|
Невралгия |
0,68 |
|
|
Рассеянный склероз |
0,80 |
|
|
0,68 |
| |
|
Лудомания |
|
0,60 |
|
|
0,69 | |
|
|
0,89 | |
|
|
0,67 | |
|
|
0,64 | |
|
|
0,75 |
Для дальнейшего анализа методами нелинейной динамики использовались те участки нативного ЭЭГ сигнала и отведения, которые показали удовлетворительное совпадение, исходя из значения коэффициента корреляции.