Сопромат / Руководство к практическим занятиям по сопротивлению материалов / Раздел_2

19

Тема практического занятия № 2: Внутренние силы, напряжения и перемещения при растяжении-сжатии.

Расчеты на прочность и Жесткость

2.1. Краткие сведения из теории

Для обнаружения внутренних сил в стержне при растяжении-сжатии применяется метод плоских сечений. Пусть стержень растягивается силой Р и собственным весом интенсивности , где − удельный вес материала, − площадь поперечного сечения. Мысленно рассечем стержень на расстоянии от начала отсчета на верхнем его конце (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Действие отброшенной верхней части на нижнюю заменим внутренней силой , такой, чтобы отсеченная часть стержня находилась в равновесии. Внутреннюю силу назовем нормальной, т.к. она направлена по внешней нормали к поперечному сечению.

Уравнение равновесия имеет вид

. (2.1)

Дифференцируя (2.1), получаем соотношение Д. Журавского, часто используемое для контроля правильности построенного графика-эпюры методом сечений:

. (2.2)

Если , то из (2.2) следует, что на незагруженном участке стержня , а при на равномерно загруженном участке , где − постоянная интегрирования. В этом случае − прямая линия с угловым коэффициентом . В сечении, где действует сосредоточенная сила, имеет место скачок на величину этой силы.

Если отнести силу к площади поперечного сечения , то получим силу, отнесенную к единице площади. Эту величину называют нормальным напряжением:

.

Максимальное нормальное напряжение в стержне должно быть меньше некоторого безопасного значения , называемого допускаемым напряжением, т.е.

. (2.3)

Условие (2.3) носит название условия прочности при растяжении-сжатии стержня. Максимальная нормальная сила определяется из графика-эпюры , который строится на основании соотношения (2.1).

Под действием внешних сил и температуры стержень изменяет длину на величину

,

где − коэффициент линейного расширения материала; − изменение температуры; − жесткость стержня при растяжении; − модуль упругости Эйлера – Юнга.

Если − постоянная величина, то

.

Перемещение произвольного сечения определяется по формуле

, (2.4)

где − перемещение сечения в начале координат.

Для нашего примера при использовании (2.4) получаем

,

т.е. график – квадратичная парабола (рис.2.1).

При перемещение , т.к. сечение жестко защемлено.

Дифференцируя (2.4) два раза получаем

.

По знаку второй производной можно определить, в какую сторону направлена выпуклость или вогнутость кривой . Если , то и выпуклость кривой обращена в положительном направлении оси , что и имеет место в нашем случае. Если , то и кривая будет вогнутой. Если , то обращение в нуль нормальной силы на графике-эпюре является признаком экстремума на графике перемещений.

Иногда требуется ограничить удлинения либо перемещения стержней , , где , − допускаемые значения удлинений и перемещений соответственно. Расчеты такого типа называются расчетами на жесткость.

2.2. Примеры решения задач

№1. Для изображенного на рис. 2.2а стержня простроить эпюру нормальных сил и перемещений поперечных сечений.

а) в) г)
Рис. 2.2

Решение

1. Определение опорной реактивной силы

Уравнение равновесия сил, направленных по оси , имеет вид

,

откуда

.

2. Определение внутренних нормальных сил методом сечений и построение эпюры

Стержень имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние силы . Для обнаружения нормальных сил на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем стержень на каждом из участков на расстояниях и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченного стержня, заменяя действие отброшенных частей внутренними нормальными силами (рис. 2.2б). В результате получаем уравнения равновесия

.

С учетом находим

. (1)

Нормальные силы (1) на каждом из участков известны, что позволяет легко построить график-эпюру нормальных сил (рис. 2.2в).

Из эпюры находим опасное сечение или участок, где нормальные силы максимальны. Таким оказывается второй участок, на котором

. (2)

3. Расчет на прочность

Для опасных сечений второго участка с учетом (2) составляем условие прочности

. (3)

Различают три типа расчета на прочность.

Проверочный расчет на прочность

Известны все величины в условии прочности (3). Пусть, например .

Подставляя эти значения в (3), получаем:

,

что меньше допускаемого значения . Следовательно, стержень удовлетворяет условию прочности.

Проектировочный расчет на прочность

Требуется найти диаметр круглого поперечного сечения стержня, для которого площадь сечения определяется формулой . Условие (3) записывается в виде:

,

тогда

.

Сохраняя значения , получаем

.

Округляя, принимаем .

Расчетное напряжение , что меньше допускаемого на 5,8 %.

Определение допускаемой нагрузки

Из (3) имеем:

. (4)

Пусть , тогда

.

4. Построение эпюры перемещений

Поскольку в задаче мы имеем три участка с различными значениями нормальных сил, то формулу (2.4) удобно записать в виде

,

где – номер участка; – постоянная в начале i-го участка; – текущая координата сечения i-го участка; – жесткость i-го участка, – координаты начального сечения i-го участка.

На первом участке имеем

.

Следовательно, эпюра − прямая линия.

При имеем , т. е. при жестком защемлении.

При получаем

.

На втором участке имеем

.

Эпюра на втором участке − прямая линия.

При получаем

.

На третьем участке имеем

.

При получаем

. (5)

Используя полученные данные, строим график-эпюру перемещений поперечных сечений (рис. 2.2г).

5. Расчеты на жесткость

Согласно (5), полное удлинение стержня не должно превышать условия жесткости стержня:

.

Отсюда можно найти другое допускаемое значение силы:

. (6)

Сравнивая (4) и (6), устанавливаем из двух значений наименьшее.

№2. Построить эпюры для стержня, изображенного на рис. 2.3, при нагружении силой и равномерно распределенной нагрузкой . Составить условие прочности.

Решение

1. Определение опорной реакции

Уравнение равновесия сил (рис. 2.3а)

,

откуда .

2. Определение внутренних усилий методом сечений

Стержень содержит два участка с разным характером нагружения. На первом участке делаем сечение на расстоянии и из условия равновесия левой отсеченной части находим (рис. 2.3б)

.

Следовательно, на первом участке график-эпюра прямая линия.

а) в) г)	б)
Рис. 2.3

Строим эпюру по двум точкам. При имеем , а при получаем .

На втором участке отсекаем на расстоянии правую часть стержня. Действие левой части на правую заменяем усилием (рис. 2.3б). Из уравнения равновесия отсеченной части правой части находим

.

Следовательно, на втором участке имеем постоянное значение.

Эпюра приведена на рис. 2.3в. На расстоянии усилие . Найдем это расстояние:

; .

Максимальное значение возникает в защемлении. Это сечение является опасным по прочности.

Контроль правильности построенной эпюры осуществляется с помощью правил дифференциальной зависимости Д. Журавского

:

1) на незагруженном участке и ;

2) на равномерно загруженном участке и , т.е. эпюра − прямая линия, возрастающая с ростом , если угловой коэффициент , и убывающая, если .

Оба правила в нашей задаче соблюдены.

3. Расчет на прочность

Условие прочности стержня

. (1)

Пусть поперечное сечение стержня − прямоугольное с соотношением сторон . Тогда . Допускаемое напряжение (дерево), , . Требуется определить размеры поперечного сечения и . Из условия (1) находим

,

откуда .

Округляем значение до значения , тогда . Проверяем стержень на прочность с подобранными размерами поперечного сечения:

,

что больше допустимого значения .

Перенапряжение составит , т.е. . Отклонение от допускается в пределах .

3. Построение эпюры перемещений

На первом участке:

,

или

.

Эпюра – парабола. В сечении , где , перемещение достигает максимального значения:

.

Выпуклость параболы определяется знаком второй производной , т.к. . Следовательно, кривая перемещений обращена выпуклостью к верху.

При имеем

.

На втором участке получаем

.

Эпюра − прямая линия. При имеем , а при

.

Строим прямую линию на втором участке (рис. 2.3г). Задача решена.