63

Тема практического занятия № 6:

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ

6.1. Краткие сведения из теории

На практике стержни часто соединяют друг с другом в стержневые конструкции – фермы и рамы (рис. 6.1), места соединения стержней называют узлами.

Рис. 6.1

В фермах внешняя нагрузка прикладывается в узлах, поэтому стержни работают в основном на растяжение-сжатие (рис. 6.1а). В этом случае узлы идеализируют в форме шарниров. В рамах, как правило, внешняя нагрузка внеузловая, ее элементы испытывают в основном изгиб (рис. 6.1б). Мы рассмотрим только конструкции типа ферм.

Особый интерес при расчете ферм представляют перемещения ее узлов, которые происходят за счет удлинения стержней. На рис. 6.1в представлена простейшая схема перемещения узла стержня в направлении, ортогональном самому стержню. Поскольку в сопротивлении материалов перемещения считаются малыми по сравнению с линейными размерами тел, то после малого перемещения узла новая длина стержня

.

При малых перемещениях можно считать, что смещение узла стержня по перпендикуляру к нему не вызывает его дополнительного удлинения. Это важное правило используется для установления связи между удлинениями стержней и перемещениями их узлов.

При расчете стержневых систем реальные диаграммы растяжения и сжатия идеализируются (рис. 6.2).

Предельным упругим состоянием стержневой системы называют такое, при котором хотя бы в одном стержне напряжения достигают предела текучести . В этом случае усилия в одном из стержней . Остальные стержни остаются в упругом состоянии и сдерживают развитие пластических деформаций в конструкции при дальнейшем увеличении внешней нагрузки.

Рис. 6.2

Предельным пластическим состоянием называется такое, когда во всех стержнях достигается пластическое состояние и конструкция не может больше сопротивляться деформированию. Она теряет свою несущую способность при неограниченном росте деформации.

Критерий предельного упругого состояния ,

. (6.1)

Допустимое значение напряжения определяется по формуле:

,

где – коэффициент запаса прочности. Тогда критерий (условие) прочности

что позволяет определить допустимое значение , т.е.

. (6.2)

Так как усилие в каждой задаче выражается через внешнюю нагрузку , то из (6.1), (6.2) можно найти предельное и допустимое ее значения.

Критерием предельного пластического состояния является достижение во всех стержнях напряжениями предела текучести, т.е. ,

, (6.3)

где – это номер элемента в стержневой системе.

В этом случае достаточно предельные значения усилий из (6.3) подставить в уравнения равновесия и найти предельную нагрузку пластического состояния. Допускаемая нагрузка этого состояния определяется по формуле

.

Отношение предельных и допускаемых нагрузок

позволяет обнаружить резерв прочности стержневой конструкции, не используемый при расчете по предельному упругому состоянию, т.е. расчету по допускаемым напряжениям.

6.2. Примеры решения задач

№1. Для простейшей стержневой системы с жестким элементом (АВС) определить допускаемое значение внешней нагрузки по методу допускаемых напряжений (предельному упругому состоянию) и условию жесткости (рис 6.3).

Рис. 6.3

Решение

Рассмотрим равновесие жесткого элемента данной конструкции. Задача является статически определимой. Три неизвестных реакции в опоре и усилие (реакция со стороны стержня на жесткую балку) могут быть найдены из трех уравнений равновесия:

откуда следует, что

, , .

Зная усилие , по закону Гука определяем удлинение стержня

.

Точки и жесткой балки в результате удлинения стержня переместятся в новое положение и (рис. 6.3), причем из подобия треугольников и следует . Перемещение точки свяжем с удлинением стержня , используя треугольник . Мысленно отсоединяем стержень от балки в точке и разрешаем ему удлиняться на величину , а затем совершаем переход по перпендикуляру к стержню. Это перемещение по введенному нами правилу не вызовет дополнительного удлинения стержня при принятой точности расчетов. Из образовавшегося треугольника находим

.

Допускаемое значение силы находим из условия прочности

,

откуда

.

Условие

,

где – допускаемое перемещение, называемое условием жесткости. Из этого условия можно найти другое допускаемое значение силы

.

Далее из двух значений выбирается наименьшее, которое обеспечивает выполнение обоих условий прочности и жесткости.

№2. Определить предельное и допускаемое значение силы для стержневой конструкции с жестким элементом при ее расчете по предельному упругому состоянию (допускаемым напряжениям).

Решение

Рассмотрим равновесие жесткого элемента стержневой системы (рис. 6.4), мысленно отсоединим стержни от жесткой балки и заменим их действие силами , которые, равны нормальным усилиям в стержнях.

Рис. 6.4

Запишем уравнения равновесия жесткого элемента:

(1)

В полученные уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы: . Следовательно, задача один раз статически неопределимая. Примем указанные выше силы в качестве основных неизвестных задачи и для раскрытия статической неопределимости воспользуемся методом сил. Для этого нам необходимо составить четвертое дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций (удлинений). На рис. 6.4 показано отклонение положения жесткого элемента , в результате чего отклонения под действием силы точки переместились в новое положение . Обозначим эти перемещения . Из трех перемещений только одно независимое. Пусть таковым будет перемещение точки , т.е. . Из подобия треугольников находим

,

откуда

.

Свяжем из геометрических соображений шарниров с удлинениями примыкающих к ним стержней. В треугольнике отрезок , следовательно,

. (2)

Исключив , находим искомое дополнительное уравнение совместности удлинений стержней:

. (3)

Согласно закону Гука,

(4)

Подставляя выражения (4) для в (3), получим

. (5)

Это дополнительное уравнение совместности удлинений, выраженное через усилия . Таким образом, задача сведена к решению системы уравнений (1) и уравнения (5), из которых находим

. (6)

Из (6) видно, что . Соответственно напряжения

(7)

Отношение

,

следовательно, и .

В предельном упругом состоянии , тогда

,

откуда находим предельную нагрузку упругого состояния

.

Если ввести коэффициент запаса прочности по отношению к и , то получим допустимое значение нагрузки при расчете по предельному упругому состоянию:

, .

Перемещение точки определим согласно уравнениям (2), (4), (6) и (7):

.

При получаем перемещение в момент достижения предельного упругого состояния (рис. 6.5):

.

График зависимости изображен на рис. 6.5 в виде прямой OА для .

Рис. 6.5

№3. Определить предельную и допустимую нагрузку для стержневой конструкции задачи №2 по методу предельного пластического состояния.