Сопромат / Руководство к практическим занятиям по сопротивлению материалов / Раздел_9
.doc
Тема практического занятия № 9:
КОСОЙ ИЗГИБ БАЛОК
9.1. Краткие сведения из теории
Косым изгибом называют такой изгиб балки, при котором плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (рис. 9.1).
|
|
|
|
Рис. 9.1 |
Рис. 9.2 |
При чистом косом изгибе в поперечном сечении возникает только изгибающий момент. Косой изгиб можно рассматривать как сумму двух прямых изгибов с моментами
,
тогда
.
(9.1)
Линия n
– n
в поперечном сечении, на которой
и
,
называется нейтральной.
Из формулы (9.1) при
следует уравнение нейтральной линии:
,
где индекс «ноль»
относится к координатам нейтральной
линии;
–
ее угловой коэффициент. Нейтральная
ось проходит через центр тяжести сечения.
В точках
и
поперечного сечения, наиболее удаленных
от нейтральной линии возникают наибольшие
напряжения (рис. 9.2). Поэтому условие
прочности при косом изгибе по нормальным
напряжениям имеет вид
.
(9.2)
Для сечения с
симметричными угловыми точками
относительно осей
типа
прямоугольника и двутавра условие (9.2)
можно записать в виде
.
9.2. Примеры решения задач
№1.
Консольная балка (рис. 9.3) длиной
изгибается силами
.
Подобрать размеры прямоугольного
поперечного сечения балки с отношением
сторон
,
если
(дерево).
Рис. 9.3
Решение
1. Из уравнений равновесия определяем опорные реакции
,
.
откуда
2. С помощью метода сечения находим внутренние силовые факторы
На первом участке
На втором участке
Эпюры приведены на рис. 9.3.
Наиболее опасное сечение – жесткое защемление. Условие прочности имеет вид
,
где
.
В опасном сечении
,
следовательно,
откуда
Округляем размеры поперечных сечений до целых значений и принимаем
и
.
№2.
Деревянная балка прямоугольного
поперечного сечения, шарнирно опёртая
по концам, нагружена посередине пролёта
силой
(рис. 9.4). Линия действия нагрузки
составляет с вертикальной осью
угол
.
Проверить прочность балки, если
.
Рис. 9.4
Решение
При таком нагружении
балки плоскость действия изгибающего
момента (
),
возникающего в сечениях балки, не будет
совпадать ни с одной из главных центральных
осей инерции сечения (оси
).
Таким образом, балка будет испытывать
косой изгиб. Нормальное напряжение в
произвольной точке с координатами
вычисляется как сумма напряжений,
возникающих от действия моментов
,
т.е.
где
− осевые моменты инерции сечения
относительно главных центральных осей
инерции сечения.
Максимальное
нормальное напряжение возникает в
наиболее удалённой от нейтральной оси
точке В (
).
Поэтому условие прочности при косом
изгибе имеет вид
1. Определение геометрических характеристик прямоугольного поперечного сечения балки
Данное сечение
имеет две оси симметрии, значит они
будут являться главными центральными
осями инерции (
),
(рис.
9.4), тогда
2. Определение
изгибающих моментов
Разложим силу
на вертикальную (
)
и горизонтальную (
)
составляющие (рис. 9.5):
|
|
|
Рис. 9.5 |
Для определения
величин и знаков изгибающих моментов
построим эпюры
(рис. 9.6). Изгибающие моменты считают
положительными, если они вызывают
растяжение волокон в первой четверти.
Из эпюр
видно, что изгибающий момент
растягивает нижние волокна, следовательно,
верхние волокна и волокна в первой
четверти будут сжаты, т.е.
будет отрицательным:
.
Изгибающий момент
растягивает левые (ближние) волокна,
следовательно, правые (дальние) волокна
и волокна в первой четверти будут сжаты,
т.е.
будет отрицательным:
.
3. Определение положения нейтральной оси
Её положение
определяется углом
:
.
Тогда
.
Рис. 9.6
4. Построение эпюры нормальных напряжений
Покажем поперечное сечение балки, нейтральную ось и опасные точки (рис. 9.7). Опасными точками сечения будут точки А и С, т.к. они наиболее удалены от нейтральной линии.
Рис. 9.7
Определим напряжения:
в точке А
(
)
в точке С (
)
в точке В (
)
в точке D
(
)
Условие прочности выполняется, так как
№3. Для
консольной балки длиной
(рис. 9.8) с составным сечением (рис. 9.9),
при действии на свободном конце
вертикальной силы
,
найти ее допускаемое значение, если
.
|
Рис. 9.8 |
Решение
Для заданной
балки построим эпюры внутренних
силовых факторов
Для сечения (рис.
9.9) оси
|
и
(рис. 9.8). Из эпюры
видно, что опасное сечение будет в
заделке (точка
),
и он действует в вертикальной плоскости
.
,
− центральные, а оси
− главные центральные. Имеет место
косой изгиб, так как плоскость действия
изгибающего момента
не содержит ни одной из главных осей
инерции сечения.
Условие прочности при косом изгибе имеет вид
где
− координаты наиболее удаленной точки
сечения от нейтральной оси, эта точка
является опасной.
Из предыдущего расчета (см. задачу № 7, раздел 7)
Разложим
момент
относительно главных центральных осей
х
и y,
при этом будем считать моменты
положительными, если они растягивают
волокна в первой четверти, тогда
Определим
положение нейтральной оси. При косом
изгибе она проходит через центр тяжести
сечения т. С,
ее положение определяется углом
:
,
откуда
,
так как
Через
точку С
проводим
нейтральную линию под углом
.
Рис. 9.9
Для
определения опасных точек сечения
(точек наиболее удаленных от нейтральной
оси) проведем касательные к контуру
сечения
(рис. 9.9) параллельные нейтральной оси.
Точки пересечения касательных с контуром
сечения и будут наиболее удаленными,
т.е. опасными. В данном случае это будут
точки D
и К
(см. рис. 9.9). Определим координаты точек
D
и
К
в осях
,
:
в точке K
в точке D
Определим координаты в главных осях х, y т.к. все расчеты на прочность ведутся относительно главных центральных осей инерции поперечного сечения (рис. 9.10):
|
|
|
|
Рис. 9.10 |
|
в точке K
в точке D
Определим напряжения в рассматриваемых точках:
в точке K
в точке D
Полученные значения напряжений позволяют построить эпюру нормальных напряжений (см. рис. 9.9).
Условие прочности имеет вид
тогда
При данном значении
силы
напряжения
в точках К
и D
будут равны
Условие прочности выполняется.