114

Тема практического занятия № 8: Внутренние усилия, моменты и напряжения при прямом изгибе балок и рам

8.1. Краткие сведения из теории

Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает изгибающий момент и отсутствует крутящий. Прямым называют изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента, содержит одну из главных осей инерции поперечного сечения (рис. 8.1а).

Рис. 8.1

На рис. 8.1а изображена однопролетная балка под действием распределенных нагрузок . Внешние нагрузки считаем положительными, если они направлены в положительном направлении координатных осей , внешние моменты – при вращении против хода часовой стрелки в плоскости, то есть относительно оси x, перпендикулярно плоскости (правило правого буравчика). Из уравнений равновесия

откуда

(8.1)

Учитывая (8.1), внутренние силы и изгибающий момент находим методом сечения, рассматривая равновесие левой либо правой отсеченной части (рис. 8.1б):

(8.2)

На рис. 8.1в показаны положительные направления внутренних сил и моментов. Силы положительны, если растягивают элемент балки , то есть направлены в стороны внешних нормалей к сечению. Силы положительны, если образуемая ими пара сил вращает по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент положителен, если сжимает верхние волокна балки и растягивает нижние волокна. На основе (8.2) строятся графики-эпюры (рис. 8.1г, д, е).

Дифференцируя (8.2), получаем дифференциальные уравнения равновесия (зависимости) Д. Журавского

(8.3)

Эти соотношения также следуют из рис. 8.1в, если составить уравнения равновесия элемента dz. Зависимости (8.3) используются для контроля правильности построения эпюр:

1) на незагруженном участке балки нормальная и перерезывающая силы постоянны; изгибающий момент – прямая линия, возрастающая с ростом , если угловой коэффициент – сила , и убывающая, если . В этом случае из (8.3) следует

N = const, Q_y = const, M_x = Q_y z + C,

где – постоянная интегрирования;

2) на равномерно загруженном участке эпюры – прямые линии, возрастающие с ростом , если , и убывающие, если . Эпюра моментов – квадратичная парабола, принимающая экстремальное значение (max либо min) в сечении, где , и обращенная выпуклостью к стрелкам распределенной нагрузки (по правилу зонтика и дождика). Тогда, из (8.3) получаем

Условие экстремума имеет вид

,

откуда находим координату соответствующего сечения. Знак в производной определяет кривизну графика эпюры изгибающих моментов (рис. 8.2).

Рис. 8.2

8.2. Примеры решения задач

№1. Построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать размеры круглого поперечного сечения балки (рис. 8.3а), если

Решение

1. Определение опорных реакций из уравнений равновесия

Составим два независимых уравнения равновесия:

Рис. 8.3

Находим опорные реакции

2. Определение перерезывающей силы и изгибающего момента методом сечений и построение графиков-эпюр.

Из уравнений равновесия отсеченных частей балки на первом и втором участках находим

На первом участке – постоянная величина, а график изменения момента – прямая линия. Полагая, что , находим . При получаем . Откладываем эти величины на рис. 8.3в и соединяем прямой линией.

На втором участке – постоянная величина, а момент изменяется по закону прямой. Полагая, что , получаем . Принимая , находим . Откладываем на графике эти значения и соединяем полученные точки прямой линией.

У строителей эпюру изгибающих моментов принято строить на растянутых волокнах балки (рис. 8.3в). Пунктиром показана изогнутая ось балки. Как видно, эпюра в этом случае получится из предыдущей путем ее переворачивания.

3. Контроль правильности построения эпюр с помощью правил Д. Журавского

Из дифференциальных зависимостей Д. Журавского −

следует, что на обоих незагруженных участках, где , эпюра перерезывающих сил постоянна , а эпюра изгибающих моментов – наклонная прямая линия. Так как на первом участке , то эпюра с ростом возрастает. На втором участке , эпюра с ростом должна убывать. Построенные эпюры полностью соответствуют правилам Д. Журавского. В сечении, где действует сосредоточенная сила , на эпюре имеет место скачок на соответствующую величину этой силы в ее направлении, а на эпюре − излом, резкое изменение угла наклона.

4. Расчет на прочность

Из эпюры находим, что в опасном сечении . Условие прочности имеет вид

Различают три типа расчета:

1) проверочный, когда все величины в условии прочности известны;

2) определение допускаемой величины нагрузки ;

3) проектировочный, для определения размеров поперечного сечения. В этом случае условие прочности следует записать в виде

и вычислить . Если поперечное сечение круглое диаметром , то момент сопротивления поперечного сечения . Из условия прочности находим

Полученное численное значение диаметра округляют и делают проверочный расчет. Примем

№2. Построить эпюры внутренних усилий для балки (рис. 8.4).

Рис. 8.4