Сопромат / задача 1
.1.pdf
Задача № 1.1
Для бруса, имеющего различные площади поперечных сечений участков и находящегося под
действием продольных сил:
1)Используя метод сечений, построить эпюру нормальных сил N.
2)Из условия прочности определить диаметры круглых поперечных сечений.
3)Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений.
Принять материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ] =160Мпа ,и модулем продольной упругости Ε = 2 ×105 Мпа
Исходные данные: q =10 кН/м
P = 60кН l1 =1,4м l2 = 0,6м l3 =1,0м
P |
P |
P |
P |
3F |
2F |
F
2P
q
l =1,4м |
l2 = 0,6м |
l =1,0м |
1 |
|
3 |
|
P |
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
3F |
|
2F |
|
|
|
ΗΑ |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
C |
|
|
А |
B |
|
|
z |
2P |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
q |
|
|
N |
l1 =1,4м |
l2 |
= 0,6м |
l3 =1,0м |
|
|
|
|
|
|
|
эп. N,кН |
|
114 |
174 |
|
|
|
120 |
|
|
|
|
180 |
|
||
|
d1 =5,3см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
= 4,38см |
d3 =3,1см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.σ, МПа |
|
50,4 |
115,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119,2 |
159,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.W ×10−4 м |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3,53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,85 |
13,44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
1) Определение опорных реакций. |
|
|
||
Σy = 0 RA = 0;ΣM A = 0 M A = 0 |
|
|
||
Σz = 0 HA + P − P + q ×l2 −2P = 0 |
|
|
||
H A = −P + P −q ×l2 + 2P = −10 ×0,6 + 2 ×60 = −6 +120 =114kH |
|
|||
2) Определение внутренней нормальной силы методом сечений. |
||||
1 участок: (0 ≤ z1 ≤l1 ) |
|
|
|
|
Σz = HA + N1 = 0 |
|
H A |
|
N1 |
N1 = −H A = −114kH |
|
|
z |
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
P |
2 участок: (0 ≤ z2 ≤ l2 ) |
|
|
P |
|
|
|
|
||
Σz = H A + N2 + P +q ×z2 = 0 |
|
|
|
|
N2 = −H A − P −q ×z2 = |
|
|
N2 |
|
= −114 −60 −10×z2 |
= |
H A |
|
|
= −174 −10×z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при: |
|
|
|
z |
z2 = 0 N2 = −174 |
|
|
|
|
z2 = о,6 N2 = −180 |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
=1,4м |
z2 |
|
|
|
|
|
3 участок: (0 ≤ z3 ≤ l3 ) |
N3 |
|
z3 |
|
|
|
2P |
||
∑z = −N3 −2P = 0 |
|
z2 |
||
N3 = −2P = −2 ×60 = −120 |
|
|
|
|
3)По полученным значениям строим эпюру нормальных сил N и проверяем правильность построения данной эпюры, пользуясь дифференциальной зависимостью Журавского.
-на участках где нет распределённой нагрузки (q=0) величина нормальных сил постоянна (N = const);
-на участке с равномерно распределённой нагрузкой имеет вид наклонной линии, причём поскольку q > 0, то эпюра N убывает;
-в местах приложения сосредоточенных сил на эпюре имеются скачки, численно равные величине данных сил;
4)Определим нормальные напряжения.
σzi |
= |
|
Ni |
|
|
i −номер силового участка |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
z1 |
= |
|
N1 |
|
= −114 = −38 |
|||||||||||
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
3F |
F |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
σ |
z2, B |
= |
|
N2, B |
|
= |
−174 |
= |
−87 |
||||||||
|
F2, B |
|
2F |
F |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
σ |
z2,C |
= |
|
N2,C |
|
|
= |
−180 |
|
= |
−90 |
||||||
|
F2,C |
|
2F |
|
F |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
σ |
z3 |
= |
N3 |
= |
−120 =σ |
max |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
F |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) Определим диаметр поперечного сечения из условия прочности.
σmax = |
|
|
Nmax |
|
|
|
≤[σ] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
≤[σ |
]=16 кН |
|
|
|
||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
F ≥ |
120 |
= |
120кН |
= 7,5см |
2 |
|
|||||||||
[σ] |
16 |
|
кН |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F = |
πD2 |
≥ 7,5см2 D ≥ |
7,5см2 ×4 |
= 3,09см |
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
Округлим полученное значение до ближайшего в большую сторону и получим:
D = 3,1см = d3
Тогда окончательное значение площади поперечного сечения равно:
F = F = 3,14 ×3,12 |
= 7,54см2 |
|
|
|
||
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = 3F = 3×7,54 = 22,6см2 |
d = |
4 ×22,6 = 5,3см |
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
F = 2F = 2 ×7,54 =15,1см2 |
d |
2 |
= |
4 ×15,1 = 4,38см |
||
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Построим эпюру нормальных напряжений.
σ |
z1 |
= |
|
N1 |
|
= −114кН = −5,04 кН |
= −50,4МПа |
||||||||||
|
F |
||||||||||||||||
|
|
|
22,6см2 |
см2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
z2, B |
= |
|
N2, B |
|
= |
−174кН |
= −11,52 |
|
кН |
= −115,2МПа |
||||||
|
F |
|
15,1см2 |
|
см2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
z2,C |
= |
|
N2,C |
|
|
= |
−180кН |
= −11,92 |
|
|
кН |
= −119,2МПа |
||||
|
F |
|
15,1см2 |
|
см2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
z3 |
= |
|
N3 |
= |
−120кН = −15,91 кН |
|
= −159,1МПа |
|||||||||
|
F |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
7,54см2 |
см2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений.
7) Построение эпюры продольных перемещений.
За точку отсчёта продольных перемещений возьмём точку А, перемещение в которой равно 0 (жёсткая заделка).
На первом участке нормальная сила постоянна(N = const) , эпюра будет прямолинейна, а
значение перемещений определяется следующим образом:
WA = 0
W =W + |
N1l1 |
= 0 + |
|
|
|
−114кН ×1,4м |
|
|
= −3,53×10−4 м |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
3 кН |
−4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
B |
|
A |
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 ×10 |
|
×10 |
|
м2 ×22,6 ×10 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На втором участке нормальная сила не постоянна (N ≠ const) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
WC =WB + |
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
N2 (z)dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
l2 = ∫2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 (z) = Nнач −q × z2 |
= −174 −10 × z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−114 ×0,6 −10 × |
0,62 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l2 = ∫ |
(−174 −10 × z2 )dz2 |
|
|
1 |
|
10 × z2 |
|
|
l2 |
|
2 |
|
−68,4 −1,8 |
|
−4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
EF |
|
= |
EF |
−114 × z2 − |
2 |
|
|
|
0 = |
2 ×108 ×15,1×10−4 |
= |
30,2 ×104 |
= −2,32 ×10 |
|
м |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W =W + |
l |
2 |
= −3,53×10−4 |
−2,32 ×10−4 = −5,85 ×10−4 м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра на данном участке будет иметь вид параболы, которая обращена выпуклостью в сторону отрицательного направления перемещения (q<0).
На третьем участке нормальная сила постоянна (N = const) , эпюра будет прямолинейна, а значение перемещений определяется следующим образом:
W |
=W + |
N3l3 |
= −5,85 ×10−4 + |
|
|
(−120) ×1,0 |
|
= −5,85 ×10−4 −7,59 ×10−4 = −13,44 ×10−4 м |
|
EF |
|
8 кН |
|
||||||
D |
C |
|
|
−4 2 |
|||||
|
|
3 |
2 ×10 |
|
м2 ×7,54 ×10 |
м |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По полученным значениям строим эпюру продольных перемещений.