Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

schoolbook_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пользуясь определением производной, мы можем вычислить производные для всех элементарных функций и составить таблицу производных .

§2. Таблица производных

n 1

(n - постоянное число);

10) a

lna,

(a 0);

cosx;

;

sinx

cosx

sinx;

11) loga x

(a 0, a 1);

xlna

tgx

;

lnx

;

cos2 x

ctgx

;

12) shx

chx;

sin2 x

13) chx

arcsinx

;

shx;

1 x2

14) thx

arccosx

;

ch2 x

1 x2

arctgx

;

15) cthx

1 x2

sh2 x

arcctgx

;

1 x2

§3. Правила дифференцирования

Если С - постоянная величина и

функции

u u x ,

v v x имеют

производные, то

а) C

0; б)

; в) u x

v x

x ;

uv vu

г) uv

vu;

д)

(v 0);

Производные показательно-степенных функций вычисляют по формуле

u(x)

v(x)

v(x)lnu(x)

v(x)

v(x) 1

u(x)

v (x)lnu(x)

u(x)

v(x)u (x).

Производная			второго	порядка от функции y f x определяется как
f x f	2	x		Аналогично определяются производные высших
			f x .
порядков	f (n)(x) f (n 1)
				(x) , n = 3, 4, …

§4. Дифференциал функции

Если приращение функции y f x от независимой переменной x может быть представлено в виде y A x x dx , где dx x, то главная линейная часть этого приращения называется дифференциалом функции y: dy A x dx. Для существования дифференциала функции y f x

необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная

y f x , причем имеем dy y dx. Последняя формула будет верна и в том

случае, если переменная x является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности первого дифференциала). Дифференциалы высших порядков от функции y f x последовательно

определяются формулами dn y d dn 1y ,

n = 2, 3, …, где принято d1y dy ydx. Если x - независимая переменная, то

полагают d2x d3x ... 0. В этом случае справедливы формулы

dn y y n dxn и y n dn y. dxn

§5. Производная обратной функции

Дифференцируемая функция	y f x (a x b) с производной f x 0
имеет однозначную непрерывную обратную функцию		x f 1 y ,	причем
обратная функция также дифференцируема и справедлива формула xy			1
					.
				yx
§6. Производная функции, заданной параметрически
x (t),	где (t) и (t) - дифференцируемые функции
Система уравнений
y (t),
и t 0, определяет y	в некоторой области	как однозначную

дифференцируемую функцию от x: y 1 x , причем производная этой

функции может быть найдена по формуле

d2 y

производной yxx используют формулу dx2

yx				yt	. Для вычисления второй
				xt

	d		yt
			xt			ytt xt xtt yt
							.

		dx				xt 3

§7. Производная функции, заданной в неявном виде

					53
Если	дифференцируемая				функция	y f x удовлетворяет уравнению
F x,y 0,		то производная			y x	этой неявной функции может быть
найдена	из	уравнения	d	F x,y 0, где F x,y рассматривается как

			dx

сложная функция переменной x.

Пример 1. Найти производные dydxданных функций:

а)

x 1

;

в)

y xsin2 x ;

1 x2

ln x2

y2 0.

б)

y ln arcsinx cos3

;

г)

arctg

x 1

Решение

a) Комбинируя правила нахождения производных сложной функции и

частного, получим

1 x2

x 1

33 x 1 2

1 x2

1 x2 2

1 x2 3x x 1

2x2 3x 1

x 1 2

1 x2 3

x 1 2

1 x2 3

б) Комбинируя правила нахождения производных сложной функции и

произведения функций, будем иметь

y arcsinx 1

cos3

ln arcsinx 3cos2

sin

x 1

1 x2

x 1

в) Запишем данную функцию в

виде y esin2 x ln x и применим

правило

дифференцирования сложной функции:

y e

sin2

x ln x

sin

2 x ln x

2sinx cosx lnx sin

sinx 2cosx lnx sinx

г) Продифференцируем обе части тождества по x, считая y y x .

x yy

y x y

1 y x

x2 y2

Следовательно,

числитель

последней

дроби

равен

нулю:

y x y y x 0. В итоге получаем y x y. x y

Пример 2. Найти dydx и d2 ydx2 для заданных функций:

a) y e

arctgx

;

x t3 t,

б)

Решение

y t2 t.

a) y earctgx 1 x2 1

;

y earctgx 1 x2 2

2x 1 x2 2 earctgx earctgx 1 x2 2 1 2x .

б) Применим правила нахождения производных от функции, заданной

2t 1

.Так как xt 3t

1, yt 2t 1,

xtt 6t ,

ytt 2, то

параметрически

3t2

d2 y

6t2 2 12t2 6t

6t2 6t 2

dx2

3t2 1 3

§8. Монотонность и экстремумы функции.

Определение1. Функция y = f (x) называется возрастающей в интервале (а,b), если большему значению аргумента х из этого интервала соответствует и большее значение функции.

Определение 2. Функция y = f (x) называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Достаточное условие возрастания ( убывания ) функции:

Если во всех точках x a;b выполняется неравенство	f x 0 (причем

равенство f x 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция f (x) возрастает в интервале

(a; b).

Если в данном промежутке производная данной функции неотрицательна, то функция в этом промежутке убывает.

Справедливы и обратные утверждения.

Определение 3. Максимумом функции y = f(x) такое ее значение y1 = f(x1) , которое больше всех ее значений, принимаемых в точках х, достаточно близких к точке х1 и отличных от нее, т. е. f(x1) > f(x), где х- любая точка из интервала, содержащего точку х1 ( х1.- точка максимума )

Определение 4. Минимумом функции y = f(x) называется такое ее значение y2 = f (x2 ), которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках х, достаточно близких к точке х2 и отличных от нее, т. е. f(x2 ) <f(x), где х – любая точка из некоторого интервала, содержащего точку х2 . ( х2 - точка

минимума)

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точки,

в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Функция может иметь экстремум в тех точках области определения, в которых производная равна нулю или не существует . Такие точки называются критическими .

Достаточное условие экстремума.

Если в точке х = хо производная функции y = f ( x) обращается в нуль или не существует, и меняет знак при переходе через эту точку, то f(xo ) - экстремум функции, причем

1)функция имеет максимум в точке хo , если знак производной меняется с

«+» на «-»

2)функция имеет минимум в точке хo , если знак производной меняется с «-»

на «+»

3)функция не имеет экстремума, если знак производной не меняется.

Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы.

1.Найти область определения и производную f (x).

2.Найти критические точки.

3 Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4.Опираясь на теоремы сделать выводы о монотонности и о ее точках экстремума.

Пример 3. Исследовать функцию y 3x4 16x3 24x2 5на монотонность и экстремумы.

Решение. 1. Найдем область определения: x R и производную данной функции:

48x

48x,

4x 4 ,

(x) 12x

(x) 12x x

(x) 12x x 2

2. Найдем критические точки.

0;x2

это

две

критические

точки.

(x) 0 12x x

2 0 x1

3.Отметим полученные точки на числовой прямой и схематически укажем знаки производной по промежуткам области определения.

0 2

х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является. На промежутке ;0 функция убывает, а на промежутке 2; функция

возрастает.

§ 9. Наибольшее ( наименьшее) значения непрерывной и дифференцируемой функции y = f ( x) на отрезке a,b

1)Находим критические точки, принадлежащие отрезку.

2)Находим значения функции в полученных точках и на концах отрезка. Среди полученных значений выбираем наибольшее ( наименьшее).

9.1. Наибольшее ( наименьшее ) значение функции на интервале.

При вычислении наибольшего ( наименьшего ) значения функции на интервале мы не можем вычислить значения функции на концах, поэтому часто используют теорему Ферма: если функция на интервале имеет

единственный максимум (минимум), то он совпадает с наибольшим (

наименьшим) значением функции на этом интервале.

Пример 4 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции f x на отрезке a,b , где f (x) 2x3 3x2 36x 8, a,b 36; .

Решение. Заметим, что f (x) непрерывна и дифференцируема на данном отрезке. Вычисления дают:

1) f (x) 0 6x2 6x 36 0 x 2,x 3 (обе точки лежат внутри данного промежутка).

2)Находим f ( 2) 36, f (3) 89.

3)Вычисляем значения функции на концах промежутка:

f ( 3) 19, f (6) 100.

4) В итоге имеем: max f (x) max 19,36, 89100, 100 f (6),

3,6

min f (x) min 19,36, 89100, 89 f (3).

3,6

возрастает.

§10. Теоремы о среднем.

Теорема Лагранжа. Если f x непрерывна на a,b и дифференцируема на a,b , то a,b такая, что f (b) f (a) f ( )(b a)(формула

конечных приращений).

Теорема Ролля. Если выполнены условия теоремы Лагранжа и f (b) f (a), то a,b : f ( ) 0.


Теорема Коши. Если f x ,	g x	непрерывны на a,b и
дифференцируемы на a,b , причем		g (x) 0, то a,b такая, что верна
формула	f (b) f (a)		f ( )
				.
	g(b) g(a)
			g ( )

§ 11. Построение графиков функций

Общая схема исследования функции и построения ее графика:

1.Найти область определения функции (Dom f ). Исследовать поведение f (x)в граничных точках Dom f .

2.Установить, не является ли f (x) четной (или нечетной).

3.Является ли f (x)периодической?

4. Исследовать f (x)на непрерывность. Найти точки разрыва и установить их характер. Указать вертикальные асимптоты.

5.	Найти уравнения наклонных асимптот.
6.	Найти нули f (x), т.е. x: f (x)=0, и y = f (0). Найти интервалы

знакопостоянства.

7.Вычислить f (x). Исследовать f (x) на монотонность и экстремумы.

8.Вычислить f (x). Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

9.Свести результаты в таблицу, добавить значения функции в характерных точках (экстремума, перегиба и т.д.) и построить эскиз графика f (x).

К числу характерных точек графика относятся точки пересечения его с осями координат. В случае непрерывной функции f (x) для нахождения абсцисс точек пересечения графика с осью Ox нужно найти корни уравнения f (x) 0, лежащие в области существования графика. Удаляя из этой области найденные точки, получим разбиение области определения функции на интервалы знакопостоянства.

Из теоремы Ферма следует, что в точках локального экстремума непрерывной функции f x 0, если производная существует. Точки,

удовлетворяющие этому условию, называются критическими точками функции f (x). Достаточные условия локального экстремума в критической

точке x0 заключаются в смене знака f x при переходе через эту точку из

левой ее полуокрестности в правую. При этом смена знака с ( ) на (–) отвечает максимуму, а смена знака с (–) на (+) – минимуму. Другой достаточный признак экстремума связан со знаком второй производной в критической точке. Если дважды дифференцируемая функция такова, что

f x0 0	, f x0 0,	то x0	- точка локального максимума. Если же
f x0 0	, f x0 0,	то x0 -	точка локального минимума. На практике для

нахождения интервалов монотонности нужно удалить из области определения функции все точки локального экстремума. Оставшееся множество состоит из интервалов монотонности. О возрастании и убывании функции на этих интервалах можно судить по знаку f x .

Дуга графика на интервале a,b называется выпуклой вверх, если она расположена под каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вверх является f x 0 для всех x a,b . Аналогично, дуга графика на интервале a,b называется выпуклой вниз, если она расположена над каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вниз является f (x) 0 для всех x (a, b).

Точки перегиба на графике дифференцируемой функции обладают свойством: по обе стороны от них график имеет разное направление выпуклости. Достаточным условием перегиба является существование f x

в окрестности точки x0 и смена знака f x при переходе через точку x0 .

При этом f x0 0.

Вертикальные асимптоты к графику функции f (x) - это прямые вида

x a, такие, что хотя бы один из односторонних пределов этой функции при x a равен бесконечности. Это может иметь место в точках разрыва второго рода либо в граничных точках области определения функции. Наклонная асимптота при x - это прямая y kx b,

где k lim	f (x)	, b	lim f (x) kx . Аналогично определяется наклонная

x	x		x

асимптота при x . Наклонные асимптоты возможны только в случае, когда область определения функции не ограничена.

Пример 5. Исследовать методами дифференциального исчисления

функцию

y f x

и, используя результаты

исследования,

построить ее

график:

а)

f (x)

(x 1)3

б)

f (x) xe x2

2 .

(x 1)2

Решение

а) 1. Очевидно, что Dom f =R \ -1 .

2. f ( x)

( x 1)

x 1 3

. Заметим, что f ( x) f (x) и

( x 1)

x 1 2

f ( x) f (x)

f (x) не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция x2не является периодической , поскольку Т 0

(x T)2 x2 2xT T2 x2 .

Аналогично

убеждаемся

том,

что

не

является

периодической

функцией.

Следовательно,

(x)

(x 1)

не

является

периодической

(x 1)

функцией.

4. x = -1 Dom f x = -1 - точка разрыва. Найдем

f ( 1 0).

f ( 1 0)

= lim

(x 1)

прямая

x =

-1

является

вертикальной

x (x 1)2

асимптотой.

Найдем

уравнения

наклонных

асимптот.

Вычисления дают:

k lim

f (x)

(x 1)3

1 k 1

lim

x x(x 1)2

lim f (x) kx

(x 1)

(x 1)3 x(x 1)2

lim

5x2

2x 1

y = x - 5

- наклонная асимптота при x .

(x 1)2

				59
6.	Заметим, что f (0) 1 и		f (x) 0 при x = 1.
7.	Находим: f (x)	x 1 2	(x 5)	. Тогда, исследуя знаки	f (x) методом
7.	Находим: f (x)	(x 1)3		. Тогда, исследуя знаки	f (x) методом
		(x 1)3

интервалов, заключаем, что f (x) возрастает на ) , 1 1) и ( и убывает на (-5, -1). Таким образом, в точке x = -5 f (x) имеет экстремум:

f max f ( 5) 135,. В точке x = 1 экстремума нет (почему мы не рассматриваем точку x = -1?). Однако указанные особенности поведения функции еще не позволяют нам однозначно судить о виде графика f (x). Очевидно, что окончательный ответ на этот вопрос мы можем получить, только исследовав промежутки выпуклости f (x).

8. Находим: f (x) 24(x 1). Точка возможного перегиба x = 1, (x 1)4

интервалы выпуклости ( ), ( 1 ) и . Установим знаки f (x)

на каждом из этих интервалов. Заключаем, что f (x) выпукла вверх на (

и ( 1 и выпукла вниз на . Точка x = 1 является точкой перегиба. 9. Сведем полученные данные в таблицу 1. Добавим значение f (10) = 6,05.

Таблица 1

x	, 5	-5	5, 1	-1	1,1	1	1,

f x	-	-13,5	-		-	0	+
f x	+	0	-	не сущ.	+	0	+
f x	-	0	-	не сущ.	-	0	+
Выводы	Функция	Точка	Функция	Точка	Функция	Точка	Функция
	возрас-	макси-	убывает	разрыва	возрас-	перегиба	возрастает
	тает	мума		2-го рода	тает

Эскиз графика f (x) представлен на (рис. 19). б) 1. Функция определена и непрерывна на R.

2. Функция нечетная: f ( x) xe ( x)2 2 f x . Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3.Не периодическая.

4.Точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

5.Ищем наклонные асимптоты:

k lim	f (x)	0,	b	lim ( f (x) 0 x)	lim		x		0

x	x			x	x			x2

						e	2

(предел находится по правилу Лопиталя). Итак, наклонная асимптота имеет уравнение y 0.

6. Очевидно, f x 0 x 0. График проходит через начало координат и других общих точек с осями координат не имеет. На ,0 имеем f x 0,

следовательно, график расположен ниже

оси

абсцисс. На 0,

имеем

f x 0, следовательно, график расположен выше оси абсцисс.

7. Исследуем функцию с помощью

f x .

Имеем

f x e x2 2 1 x2 .

f x 0 x1

1,x2

1 - критические точки.

На , 1 и 1, функция

убывает, так как

f x 0. На

1,1 функция

возрастает, так как f x 0.

Следовательно,

x 1 - точка минимума,

f 1 e 1 2 ;

x 1 -

точка

максимума, f 1 e 1 2 .

f x . Имеем f x e x2 2 x3 3x .

8. Исследуем функцию с помощью

Отсюда

f x 0 x3

- точки возможного перегиба. На

3,x0 0,x4

и 0,

f x 0

график

выпуклый

вверх.

На

интервалах

3,0 и

f x 0

график выпуклый

вниз.

Точки

перегиба x0, x3,

x4 . Значения

функции

этих точках

e 3 2 ,

f0 0.

9.Сводим результаты исследования в таблицу 2, пользуясь нечетностью функции, и строим эскиз графика (рис. 20).

Таблица 2

x	0,1	1	1,						3,
						3
				3
f x	+	e 1 2	+				e 3 2	+
						3
f x	+	0	-		2e 3 2			-
f x	-	2e 1 2	-		0			+
Выводы	Функция	Точка макси-	Функция		Точка			Функция
	возрастает	мума	убывает		перегиба			убывает

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.11.2019108.03 Кб0ref-18298.doc
#
19.03.20161.89 Mб310runrun.doc
#
03.12.201842.38 Кб2RYeF_ISTORIYa (1).docx
#
19.07.201938.18 Кб3RYeF_ISTORIYa (1).docx
#
19.05.2015832.51 Кб35Sbornik_zadany_po_Informatike_bakalavry.pdf
#
19.05.20151.16 Mб27schoolbook_1.pdf
#
25.12.2019755.2 Кб0shpora1_Kalabin.doc
#
24.12.2019354.3 Кб0ShPOR_MYeTROLOGIYa.doc
#
21.09.2019131.58 Кб5sotsiologia_otredaktirovannye_otvety_k_zachetu.doc
#
25.12.2018206.34 Кб7sotsiologia_otvety_21-25.doc
#
21.07.2019186.88 Кб25SOTsIOLOGIChYeSKIJ_OPROS.doc