7. Построение доверительной области уравнения регрессии

Для построения доверительной области необходимо вычислить доверительные пределы для коэффициента регрессии а₁ для среднего ỹ в следующей последовательности:

- вычисляем средние квадратические отклонения δ_х и δ_у :

(20)

- используя квантили распределения Стьюдента с (n-2) степенями свободы при заданной доверительной вероятности (например, 95%), находим значения t_p/2 , когда доверительные пределы для коэффициента истинной регрессии a₁^a равны:

(21)

используя квантили распределения Стьюдента при доверительной вероятности p c (n-1) степенью свободы, получаем доверительные пределы для генерального среднего ȳ:

(22)

Обозначим найденные доверительные пределы для среднего через ȳʹ и ȳʺ, для коэффициентов регрессии – через а₁ʹ и а₁ʺ. Через каждую из точек (х_ср, ȳʹ) и (х_ср, ȳʺ) (рис. 2) проведём две прямые с угловыми коэффициентами а₁ʹ и а₁ʺ.

Y

=Ymax

=Ymin

х_ср X

Рис. 2. Построение доверительной области уравнения регрессии

Рис. 3.Доверительная область уравнения регрессии и теоретическая линия регрессии

Максимальная область, охватываемая этими прямыми, и представляет собой искомую доверительную область, в которой с вероятностью p² лежит истинная линия регрессии.

8. Определение средней ошибки аппроксимации

На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных данных – задача аппроксимации.

Основная задача аппроксимации – построение приближенной (аппроксимирующей) функции наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции.

Аппроксимация – процесс подбора эмпирической функции f(х) для установления из опыта функциональной зависимости y=f(х). Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных.

Средняя ошибка аппроксимации среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8-10% Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результат (результативный признак) от своей средней величины при изменении фактора x (признак-фактор) на 1% от своего среднего значения. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента. Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Отклонения можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а - как относительную ошибку аппроксимации.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению определяют среднюю ошибку аппроксимации:

(25)

Фактическое значение результативного признака y отличается от теоретических значений, рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим, и лучше качество модели.

Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации.

Поскольку может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю.

Если А до 10-12%, то можно говорить о хорошем качестве модели.

Приложение 1