c4

выбор некоторого элемента фигуры

Методические указания. К задачам этого типа относят такие задачи, в условии которых дана числовая величина элемента фигуры, но не указано какого конкретно из имеющихся. В случае линейного элемента это может быть, например, сторона многоугольника или длина отрезка перпендикуляра, опущенного на сторону фигуры, и т.д. В случае углового элемента это может быть, например, какой-то из углов фигуры.

В качестве подготовительных задач можно предложить следующие.

1. Найти площадь равнобедренного треугольника, углы при основании которого равны 30 , если одна из его сторон равна 6.

Комментарий. Для получения ответа необходимо рассмотреть два случая. В первом случае равно 6 основание, во втором – боковая сторона.

Ответ: 93 или 123.

2. Найти площадь равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 10, а один из углов равен 30 .

Комментарий. В этой задаче аналогично предыдущей необходимо рассмотреть два случая. В первом случае равен 30 угол при основании, во втором – при вершине.

Ответ: 25 или 253.

3. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия. Найти площадь треугольника CMN.

Комментарий. При решении данной задачи неоднозначность состоит в выборе средней линии. Необходимо рассмотреть три случая (см. рис. 50), даже если они приводят к одному ответу.

Ответ: 2.

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Рассмотрим более сложные примеры. При решении следующего примера необходимо предварительно напомнить и разобрать следующую опорную задачу.

Пусть в треугольнике АВС проведены высоты AA1 и CC1. Тогда треугольник A1BC1 подобен данному треугольнику с коэффициентом подобия, равным |cos B|.

Пример 21. Точки A1, B 1, C1 – основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A1B1C1 равны 90°, 60° и 30°. Найти углы треугольника ABC.

Решение. Рассмотрим разные виды треугольника, связанные с выбором ост-

1

C 90 2 B1C1A1.

Такие же равенства можно получить для других острых углов. Используем

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

2. Пусть угол АСВ – тупой (см. рис. 51б). Так как треугольник AAC1 1 подобен треугольнику АВН, то AAC1 1 ABH

или AAC1 1 B 90 H. Аналогично из подобия треугольников HA1 B1 и НВА имеем HA1B1 B 90 H. Для развернутого угла при вершине A1 , состав-

41

ленного из суммы углов AAC1 1, HA1B1 и

AC1 1B1 180 2 H (3). Из этих трех равенств получим необходимые соотношения для данных углов

A1B1C1 AC1 1B1 180 2 A

B1AC1 1 AC1 1B1 180 2 B.

Такие же соотношения можно получить для других случаев, когда угол АВС или ВАС – тупой. Пусть данные углы:

случаи рассмотрите самостоятельно. Случаи, когда один из углов треугольника АВС прямой, невозможны.

Ответ: 45°, 75°, 60° или 135°, 15°, 30°, или 120°, 15°, 45°, или 105°, 30°, 45°.

Пример 22. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB 6 и BC 4. Найдите АС.

Решение. Используя обобщенную теорему синусов, найдем

Так как B 180 A C , то

sin B sin(180 A C) sin( A C) .

1. Если треугольник АВС – остроугольный, то

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Пример 23. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что CH AB. Найти угол АСВ.

Рис. 52

Решение. 1. Пусть треугольник ABC остроугольный (см. рис. 52а). Пусть ВЕ и CD – высоты треугольника. Углы АВЕ и HCE равны, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Треугольники АЕВ и HEC равны по гипотенузе (CH AB) и острому углу. Отсюда

AE EH, и значит, EAH AHE 45 .

В прямоугольном треугольнике ACF имеем CAF 45 , поэтому ACF 45 .

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

2.Угол ВАС – тупой (см. рис. 52б).

3.Угол АВС – тупой.

4.Угол АСВ – тупой.

42

5.Угол АВС – прямой.

6.Угол ВАС – прямой.

7.Случай, когда угол АСВ – прямой, невозможен (почему?).

Ответ: 45 или 135 .

Опорная задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой.

Доказательство. Так как в четырех-

угольнике AEHD углы E и D прямые (см. рис. 53а), то A DHE 180 . Отсюда получаем BHC DHE 180 A. Радиус окружности, описанной около треугольника ВНС, равен

Отсюда следует, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ВСН равны между собой. Аналогичное доказательство проводят и для других треугольников.

Пример 24. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найти угол АСВ.

C

C

Рис. 53

Решение. Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Так как радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCH равны между собой, то для треугольника

HBC 30 или HBC 150 .

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

1.Если треугольник ABC – остроугольный, то из треугольника BEC находим C 90 30 60 (см. рис. 53а).

2.Если в треугольнике ABC угол A – тупой, то HBC 30 (в треугольнике

DBC угол D прямой, а угол DBC может быть только острым). Из треугольника DBC находим C 90 30 60 (см.

рис. 53б).

C H

E

A D

B

D C

A

H E B

в г

Рис. 53

3. Если в треугольнике ABC угол B – тупой, то HBC 150 (почему этот угол тупой?) и CBE 30 . Из треугольника CBE (см. рис. 53в) находим

C 90 30 60 .

4. Если в треугольнике АВС угол С – тупой (см. рис. 53г), то HBC 30 (почему этот угол острый?). Из треугольника СВD находим BCD 90 30 60 .

Тогда ACB 180 60 120 .

Ответ: 60 или 120 .

Рассмотрим пример, в котором имеются две точки, делящие окружность на две дуги, но не указано, какой из этих двух дуг касается другая окружность. В этом случае неоднозначность состоит в выборе кругового элемента (дуги).

Пример 25. Окружности с центрами О и В радиуса ОВ пересекаются в точке С. Радиус ОА окружности с центром О перпендикулярен ОВ, причем точки А и С лежат по одну сторону от прямой ОВ. Окружность S1 касается меньших дуг АВ и ОС этих окружностей, а также прямой ОА, а окружность S2 касается окружности с центром В, прямой ОА и окружности S1. Найти отношение ра-

диуса окружности S1 к радиусу окружности S2 .

43

Комментарий. Сначала следует рассмотреть опорную задачу.

Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружно-

стям радиусов r и R равен 2√ .

Доказательство. Из прямоугольного треугольника O1O2E (см. рис. 54) полу-

(R r)2 (R r)2 2Rr .

A B

Рис. 54

Решение. Пусть K и E – центры окружностей S1 и S2 , I и J – точки касания этих окружностей с прямой OA соответственно. Так как окружность S1 радиуса а и окружность с центром в точке В и радиуса R касаются друг друга и общей прямой ОА, то имеем OI 2Ra (расстояние между точками касания окружностей с общей касательной).

В прямоугольном треугольнике OKI, где OK R a , используем теорему Пифагора: (R a)2 a2 2Ra 2.

Отсюда получаем R 6a. Рассмотрим первый случай касания

окружности S2 радиуса b (см. рис. 55а).

A

C

I a K

J Eb

O R B

Рис. 55а

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Тогда OI OJ JI, или

Для второго случая (см. рис. 55б) име-

ем

OJ OI IJ ,

2bR 2aR 2ab .

Проводя преобразования аналогично предыдущему случаю, получим

a7 26 .

b6

J b E

A

Ia KC

O R B

Рис. 55б

Ответ: 7 2 6 . 6

Задачи для самостоятельного решения

13.(МИОО, 2011). Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 24. Точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 5:8, считая от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

14.В равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой стороной 10 вписана окружность. Вторая окружность касается двух сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.

44

15.В ромбе ABCD со стороной 2 и углом 60 проведены высоты CM и DK. Найдите длину отрезка MK.

16.(ЕГЭ, 2012). Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 4

иуглом 120 . Внутрь треугольника вписаны две равные окружности таким образом, что окружности касаются друг друга

икаждая окружность касается двух сторон треугольника. Найдите радиус окружностей.

17.(ЕГЭ, 2012). В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, в 7 раз больше радиуса вписанной окружности.

Ответы. 13. 15 или 24. 14. 0,75 или

или 3 3 . 17. 1:3 или 5:1.

2

выбор плоской фигуры

Задачи данного пункта могут быть связаны с неопределенностью выбора отношения площадей фигур, выбором подобных треугольников и т.д.

Пример 26. Основания трапеции равны a и b . Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

Решение. Обозначим искомый отрезок EF через x (см. рис. 56).

Рис. 56

1. Пусть площади трапеций BCFE и AEFD относятся как 2:3, тогда имеем

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

где h1 и h2 высоты этих трапеций соответственно. Отсюда

где h1 и h2 высоты этих трапеций. Через точку F проведем отрезок PH

параллельно AB. Тогда треугольники PFD и HFС подобны (докажите!) и справедливо равенство

Решая полученное уравнение относительно переменной x, получаем

3(x2 b2) 2(a2 x2), 5x2 2a2 3b2 ,

2. Случай, когда площади трапеций AEFD и BCFE относятся как 2:3, решается аналогично. В этом случае площади трапеций BCFE и AEFD относятся как 3:2.

Замечание. Другой способ решения данной задачи рассмотрен в примере 8.

Задачи для самостоятельного решения.

18.(ЕГЭ, 2011). Через вершину B правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке K. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 2:3. Найдите отношение CK :KF.

19.(ФИПИ, 2011). Точка Н – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14, опущенной на сторону, равную

12.Через точку Н проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке М. Найдите НМ.

Ответы. 18. 17 или 10 . 19. 7 или 14 .

23 7 3 5

45

Глава 3. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения фигур

При решении задач условие может трактоваться неоднозначно, если для рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. Можно выделить, например, следующие случаи, приводящие к неоднозначной трактовке условия задачи и касающиеся:

взаимного расположения прямолинейных фигур;

взаимного расположения окружностей;

интерпретации аналитического способа решения задачи.

3.1. Взаимное расположение прямолинейных фигур

Методические указания. При рас-

смотрении данного пункта полезно решить подготовительные задачи следующего вида.

1.Пусть дан произвольный треугольник ABC. Рассмотреть возможные варианты построения на стороне AB:

а) равностороннего треугольника ABP; б) квадрата ABPQ.

2.Пусть дан произвольный треугольник ABC. Рассмотреть возможные варианты расположения параллелограмма MNPQ , вписанного в данный треуголь-

ник так, что одна из его вершин совпадает с вершиной треугольника, а три другие лежат на сторонах треугольника.

Пример 27. Дан равнобедренный треугольник АВС, AB BC 10 и AC 12. Параллельно боковым сторонам треугольника на одинаковом расстоянии от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, образованного этими прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12.

Решение. Проведем прямую BD, где точка D – основание высоты данного треугольника. Проводя прямые, параллельные сторонам ВА и ВС, убеждаемся, что они могут образовывать треугольник с основанием, лежащим на прямой AC,

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

расположенный в верхней или нижней полуплоскости относительно AC.

1. Рассмотрим случай, когда прямые

EF || BC и EG || AB (см. рис. 57а).

B

E

H

P

A G D F C

Пусть DF x, а DE y, тогда используя подобие треугольников BDC и EDF, данное значение площади треугольника GFE, составим систему уравнений

Отсюда следует, что DF 3 и FC 3. Проведем перпендикуляры DH и FP на прямую ВС. Так как высота DH в пря-

моугольном треугольнике BDC равна

BD DC 8 6 4,8,

BC 10

то из подобия треугольников DHC и FPC

получаем FP DH FC 4,8 3 2,4.

DC 6

B

H

F G C

A D P

E

Рис. 57б

2. Второй случай расположения прямых EF и EG (см. рис. 57б), приводит к ответу 7,2.

Другие варианты расположения прямых не соответствуют условию задачи.

Ответ: 2,4 или 7,2.

46

Пример 28. (ЕГЭ, 2011). Точки M, K и N лежат на сторонах соответственно AB, BC и AC треугольника ABC, причем AMKN – параллелограмм, площадь кото-

рого составляет 4 площади треугольни-

9

ка ABC. Найти диагональ MN параллелограмма, если известно, что AB 21,

AC 12 и BAC 120 .

Решение. Анализ условия задачи показывает, что существует два параллелограмма AMKN, удовлетворяющих условию задачи.

Пусть площадь треугольника ABC

равна S, а BK k . Тогда треугольники

BC

MBK и ABC подобны с коэффициентом подобия k, а треугольники NKC и ABC подобны с коэффициентом подобия 1 k .

Поскольку SABC SAMKN SMBK SNKC , то

имеем

S4 S k2S (1 k)2 S ;

9

k2 k 2 0.

9

Отсюда получаем: k 2 или k 1 .

NK 1 AB 7, AN MK 2 AC 8.

3 3

A

M

N

C K B

Рис. 58а

Используя теорему косинусов для треугольника NAM, получаем

MN 72 82 2 7 8 cos120 13.

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

AN MK 1 AC 4,

3

MN 142 42 2 14 4 cos120 267.

A

N

M

C K B

Рис. 58б

Ответ: 13 или 267 .

Задачи для самостоятельного решения

1.Ромб вписан в прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 так, что одна из его вершин совпадает с вершиной острого угла треугольника, а три другие лежат на сторонах треугольника. Найдите площадь ромба.

2.(ФЦТ, 2010). На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведенную из вершины A, если известно, что сторона равна 1.

Ответы. 1. 45 или 80 . 2. 6 2 или

16 27 4

6 2 .

4

3.2. Взаимное расположение окружностей

Методические указания. Взаимное расположение окружностей можно различать по внешнему признаку (касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся) или по внутреннему признаку (взаимное расположение центров окружностей относительно общей касательной, общей хорды и т.д.).

Полезно рассмотреть взаимное расположение окружностей с помощью динамической геометрической программы (например, «Живая Геометрия», «Geogebra» или «Wingeom»): двух ок-

ружностей, двух окружностей с общей касательной, двух окружностей с общей хордой. При перемещении одной окружности относительно другой видно наличие общих точек (одна, две, ни одной), возможные варианты касания окружностей (внешнее, внутреннее), варианты

47

касательных (внешние, внутренние), расположение центров касательных относительно общей хорды, общей касательной.

В качестве подготовительных задач можно рассмотреть следующие.

а) К двум окружностям радиусов 6 и 3 проведена общая касательная. Найдите расстояние между точками касания, если расстояние между центрами окружностей равно 15.

Ответ: 66 или 12.

б) Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки A и B – точки касания). Найдите расстояние между точками A и B.

l1 A1A2 a2 (R r)2 (длина внешней касательной);

l2 B1B2 a2 (R r)2 (длина внутренней касательной).

расположение центров окружностей относительно их общей точки касания

расположение центров окружностей относительно общей касательной

В условии задач этого типа фигурируют две окружности, касающиеся одной прямой, но не указано расположение центров этих окружностей относительно этой прямой. Соответственно эта прямая является внутренней или внешней касательной для этих окружностей.

Пример 29. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно a, причем R r и a r R. Найти расстояние между точками касания.

Решение. Пусть О1 – центр окружности радиуса R, О2 – центр окружности радиуса r, A1A2 и B1B2 – внешняя и внутренняя касательные соответственно (см. рис. 59). Из центра меньшей окружности опустим перпендикуляры O2K1 и O2K2

на радиус O1A1 и продолжение радиуса

O1B1 соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники O1K1O2 (гипотенуза O1O2 a, катет

мы Пифагора для этих треугольников получим:

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

В условии задач этого типа фигурируют две окружности, но не указан тип касания (внешний или внутренний, см. рис.60).

r O2

R A

O1 O1

Рис. 60

При решении подобных задач полезно вспомнить следующие факты.

При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.

При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.

Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r

Пример 30. (ЕГЭ, 2010). Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B. Через точку B проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке A, а большую – в точке C. Извест-

но, что AC 32 . Найти BC.

48

Решение. Поскольку в условии не сказано о типе касания окружностей (внешнее или внутреннее), то рассмотрим два случая.

C

K

O2B O1

A

K1

Рис. 61а

1. Если окружности касаются внешним образом, то проведем через точку B общую касательную KK1 (она перпендикулярна линии центров, см. рис. 61а).

Так как треугольники AO2B и CO1B

равнобедренные и O2BA O1BC, то они подобны по первому признаку подобия. Для подобных треугольников AO2B

и O1BC можем записать

AB BO2 2 1.

BC BO1 4 2

Отсюда BC 2 AC 2 32 22.

33

2.Окружности касаются внутренним

образом (см. рис. 61б). В этом случае при исходных числовых данных задача не имеет решения (докажите это самостоятельно).

C

A

B

O2 O1

Рис. 61б

Ответ: 22.

Пример 31. Окружности S1 и S2 радиусов R и r ( R r ) соответственно касаются в точке A. Через точку B, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в

20.05.2013. http://www.alexlarin.net/

точке M. Найти BM, если известно, что

AB a.

Решение. Возможны два случая расположения указанных окружностей в зависимости от типа касания.

1. Пусть окружности касаются внешним образом (см. рис. 62).

Рис. 62

1-й способ решения. Пусть O1 и O2

центры окружностей S1 и S2 соответст-

O1B2 O1A2 AB2 2O1A ABcos

или

R2 R2 a2 2Racos .

Отсюда получим cos a . 2R

Теперь используем теорему косинусов для треугольника O2AB :

O2B2 O2 A2 AB2 2O2 A ABcos

или

В прямоугольном треугольнике O2BM

( BMO2 90 ), используя теорему Пифагора, находим

BM2 O2B2 r2

Отсюда BM a 1 r .

R

49

2-й способ решения. Продолжим АВ до пересечения с окружностью S2 в точке E

(см. рис. 63). Треугольники AO1B и AO2 E равнобедренные и подобные, так как O1AB EAO2 . Следовательно,

AE r и AE ar.

Рис. 63

По теореме о секущей и касательной имеем

Пример 32. Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем CDA 120 . Найти радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС, если

OD 3.

O LO1H

A

O2

Рис. 65

1. Рассмотрим внутреннее касание окружностей. Пусть радиус искомой окружности с центром в точке O1 равен r. E – точка касания этой окружности с радиусом OC . В прямоугольном треуголь-

Используя теорему о секущей и касательной, получим

OL OH OE2 ,

2. В случае внешнего касания искомая окружность радиуса R с центром в точке O2 касается продолжений сторон DC и DA и данной окружности. Тогда, проводя

Ответ: 221 9 или 3 23.