Глава . Производная и ее применение

§1. Производная функции

1. Определение производной

При изучении зависимостей, описывающих различные социально-экономические процессы, часто возникает вопрос об определении темпов изменения тех или иных показателей, характеризующих эти процессы (темпы роста национального дохода, темпы роста цен, темпы изменения занятости населения, и пр.). Если динамика процесса описывается дискретной моделью, где время принимает только целочисленные значения, то в момент времени состояние процесса может характеризоваться значением некоторого экономического показателя (например, ‑  уровень производства в некоторой отрасли).

Средним темпом изменения дискретной переменной за периодназывается относительное изменение этой переменной в течение этого периода:

.

Этот показатель может быть выражен в процентах; в этом случае относительное изменение определяется по формуле

.

Поскольку разность значений дискретной переменной представляет собойприращение переменной   за один период , то темп прироста за этот период равен соответствующему приращению переменной, деленному на значение переменной в начале периода.

Существенно, что темп изменения имеет размерность 1/время. Поэтому его значения будут различаться, если, например, в одном случае за единицу измерения времени взять месяц, а в другом ‑ год.

Пример

Если банк начисляет ежемесячно 5% от суммы вклада, который был в начале января, то к концу года клиент банка (вкладчик) получит суммарный доход от вклада в размере 60%.

Часто для описания динамики того или иного экономического процесса удобно использовать непрерывную модель, где время изменяется не скачками, а непрерывно. В этом случае состояние процесса в момент времени может характеризоваться значением некоторой функции , заданной, например, на отрезке .

Средней скоростью изменения функции за период называется отношение приращения этой переменной за периодк продолжительности этого периода.

Поскольку приращение функции за период равно разности значений функции, то средняя скорость изменения функции за период вычисляется так:

.

Средним темпом изменения функции за период называется относительное изменение этой переменной в течение этого периода:

.

Таким образом, средний темп изменения функции за период равен средней скорости изменения этой функции, деленной на значение функции в начале периода.

Мгновенной скоростью изменения функции в момент времени называется предел средней скорости изменения этой функции за периодпри стремлении продолжительности периодак нулю:

.

Мгновенным темпом изменения функции в момент времени называется предел среднего темпа изменения этой функции за период при стремлении продолжительности периодак нулю:

.

Таким образом, мгновенный темп изменения функции в момент времени связан как с мгновенной скоростью изменения функции, так и со значением функции в этот момент:

.

Задача об определении скорости изменения функции приводит к одному из важнейших понятий математического анализа ‑ к понятию производной. Сначала это понятие применялось при решении различных задач механики. Однако со временем производная и основанный на ней аппарат исследования функций стали использоваться и в других науках, в том числе в экономике, социологии и менеджменте.

Пусть функция y =определена в окрестности точкиx₀,  приращение аргумента x,  приращение функции.

Производной функции в точкеx₀ называется конечный предел , если он существует.

Производная функциив точкеx₀ обозначается или. Черезy или обозначают производную функцииy =в точкеx.

Экономический смысл производной

Мгновенный темп изменения функции в момент времени равен производной (мгновенной скорости изменения функции), деленной на значение функции в этот момент. Эта формула выражает экономический смысл производной.

Замечание

Пусть предел в определении 1 равен +∞ (или – ∞). В этом случае говорят, что производная =+∞ (или – ∞).

В определении производной предполагалось, что предел

не зависит от знака приращения при стремлениик нулю. Если же в указанном определении потребовать, чтобыбыло только одного знака, то придем к понятию односторонней производной.

Правой производной функции в точкеназывается предел

,

если он существует. Аналогично определяется левая производная . Правая и левая производные называются ееодносторонними производными.

Ясно, что если функция имеет в точкеобычную производную, то она имеет и обе односторонние производные и все они совпадают. В то же время функция может иметь односторонние производные и не иметь производной. Например, ранее упомянутая функцияв точкеимеет односторонние производные

Если для любого достаточно малого Δx выполняется равенство

,

где A  постоянная, α  бесконечно малая функция при Δx→0, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀ (см. рис. 1а). Величина A∙Δx называется дифференциалом функции f(x) в точке x₀ и обозначается символом df(x₀). Дифференциал функции y = f(x) в точке x обозначается символом dy.

Если функция дифференцируема в точке , то замена этой функции линейной функцией называетсялинеаризацией функции вблизи точки  . Сказанное означает, что при линеаризации функции вблизи точки  происходит замена графика функции ее касательной.

ТЕОРЕМА 1. Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство

dy = f ′ (x) dx. (1)

В силу этой теоремы выражения “функция дифференцируема» и «функция имеет производную» означают одно и то же.

Пример (правило семидесяти)

Если при перерасчете суммы вклада банк использует сложные проценты, то время удвоения первоначальной суммы вклада вычисляется по формуле . Если, ставка процента низкая, то для оценки времени удвоения можно использовать формулу линеаризации, которая приводит к следующему результату:

.

Итак, при малой процентной ставке время удвоения вклада приблизительно равно дроби, в числителе которой ‑ число семьдесят, а в знаменателе ‑ относительный прирост вклада, выраженный в процентах (100). Эта оценка в финансовом менеджменте известна какправило семидесяти. Если, например, банк ежемесячно начисляет 5% от суммы вклада (a = 0,05), то время удвоения примерно равно 70/5=14,что хорошо согласуется с точным результатом .