2. Предел функции

Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке, еслипри.

В этом случае точку называютпределом указанной последовательности и пишут: при.

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно,(т.е. сходимость последовательности точек пространстваэквивалентнапокоординатной сходимости).

Пусть и– предельная точка множества. Числоназываютпределом функции при, если длятакое, что, как только. В этом случае пишут

или при.

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точкена плоскостиможет происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Типовой пример

Найти .

►Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой. Тогда

.

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от. ◄

Типовой пример

Найти .

►По любой прямой предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует. ◄

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда ,(остальное – по аналогии).

Число называютпределом функции прии, если длятакое, что из неравенствиследует неравенство. Этот факт коротко записывают так:

.

ТЕОРЕМА 1. Если существуют и, то:

;

;

,

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

3. Непрерывность функции

Пусть дана функция с областью определенияи пусть – предельная точка множества .

Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1. ;

2. , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим ,и.

Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

ТЕОРЕМА 2. Если функции инепрерывны в точке, то этим же свойством обладают функции,, а если, то и функция.

Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).

Множество называетсяобластью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) являетсялинейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющаяии целиком лежащая в.

Если – область, то множествоназываютзамкнутой областью.

Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области), еслинепрерывна в каждой точке этого множества.