Лабораторная работа № 59. Изучение резонанса напряжений

Цель работы: 1. Изучить вынужденные колебания в контуре.

2. Построить резонансные кривые.

3. Вычислить активное сопротивление контура.

Теоретическое введение

Электромагнитные колебания возникают в электрической цепи. Цепь, состоящая из катушки индуктивности L, конденсатора С и, обладающая активным сопротивлением R, называется реальным колебательным контуром (рис. 1).

Рис. 1

В колебательном контуре периодически изменяются: величина электрического заряда на обкладках конденсатора, ток по величине и направлению, энергия электрического и магнитного полей, напряженность электрического поля и индукция магнитного поля. Процесс периодического изменения этих величин в электрической цепи и представляет собой электромагнитные колебания.

В идеальном колебательном контуре (R=0) возникают свободные незатухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний имеет вид (1)

(1)

где Q – величина электрического заряда, Кл;

- собственная циклическая частота колебаний, С^-1.

Подобное уравнение можно составить относительно любой величины, имеющейся в этой цепи. Решением таких уравнений являются гармонические функции, представленные формулой (2)

(2)

где Q_M – амплитудное значение заряда, Кл;

–фаза колебаний, радиан;

–начальная фаза колебаний, радиан;

t – текущее время, С.

В реальном колебательном контуре (R0) возникают свободные затухающие колебания, дифференциальное уравнение которых имеет вид (3)

(3)

где – коэффициент затухания.

Решением уравнения (3) являются гармонические функции, имеющие вид

(4)

где – амплитуда затухающих колебаний, Кл;

– циклическая частота затухающих колебаний, С^-1.

Вынужденные колебания в электрической цепи

Колебания, возникающие в электрической цепи, содержащей R, L,C (рис.2), под действием внешней переменной электродвижущей силы , называются вынужденными.

.

~

Рис. 2

Вынужденные колебания в электрической цепи описываются уравнением (5)

(5)

где – циклическая частота переменной ЭДС, С^-1.

Переменная ЭДС возбуждает в цепи переменный ток той же частоты , изменяющейся по закону

(6)

где – сдвиг по фазе между током и ЭДС

В общем случае ток и ЭДС в такой цепи по фазе не совпадают. Значения тока и сдвиг по фазе зависят от параметров цепи R, L, C.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 2), где R, L, C соединены последовательно с ЭДС. Выясним, как изменяется напряжения на каждом из участков R, L, C.

По закону Ома напряжение на участке R выразится формулой:

(7)

Из сравнения (6) и (7) видим, что напряжение на активном сопротивлении R и ток совпадает по фазе. На векторной диаграмме амплитудные значения этих величин откладываем вдоль одной прямой, рис.3.

Из формулы (7) ясно, что амплитудное значение напряжения , гдеR – активное сопротивление, определяющее необратимые затраты энергии на ленц – джоулево тепло (потребляет мощность).

Напряжение на катушке индуктивности L определяется по формуле

где – ЭДС самоиндукции В.

После дифференцирования (6) и замены функции синуса на косинус получим формулу (8)

(8)

Сравнивая (6) и (8) видим, что напряжение U_L опережает ток по фазе на . На векторной диаграмме это выглядит так: (рис. 4)

Рис. 4

Из формулы (8) запишем

(9)

где U_Lm – амплитудное значение напряжения;

–индуктивное сопротивление, которое определяет затраты энергии на возбуждение магнитного поля в катушке.

Напряжение на конденсаторе определяется по формуле

Учитывая (6) и то, что после интегрирования и перехода к функции косинуса получим формулу

(10)

где – амплитудное значение напряжения на конденсаторе (U_Cm);

–ёмкостное сопротивление, определяющее потери энергии на возбуждение электрического поля в конденсаторе.

Из (6) и (10) видно, что напряжение U_C отстаёт от тока по фазе на . Векторная диаграмма для этого случая изображена на рис. 5.

π/2

X

Рис. 5

Сопротивления иназываются реактивными, т.е. при их наличии энергия не расходуется на нагревание проводников.

В замкнутой цепи, изображенной на рис. 2, для каждого момента времени имеет место соотношение

(11)

Посмотрим (рис.6) векторную диаграмму сложения напряжений в цепи, учитывая сдвиг фаз между ними и током. Для этого выберем ось Х и под углом () к ней проводим прямую, на которой откладываемI_m и U_Rm.От этой прямой вверх под углом откладываемU_Lm, а вниз под углом откладываемU_Cm и производим сложение векторов U_Lm и U_Cm и U_Rm.В результате сложения получим вектор .

Проекции векторов ,I_m, U_Lm, U_Cm и U_Rm на ось Х представляют собой мгновенные значения этих величин. Взаимное расположение векторов, изображенное на рис.6, сохраняется для любого момента времени. Но в зависимости от соотношения между абсолютными значениями векторов U_Lm и U_Cm ток может отставать от ЭДС по фазе

Рис.6

(как на рис. 6), а может и опережать, если . ИзОАБ следует

После преобразования с учетом амплитудных значений величин U_Lm, U_Cm и U_Rm получим формулу

(12)

Формула (12) является законом Ома для цепи переменного тока. Величина является сопротивлением цепи переменного тока, содержащейR, L, C соединенные последовательно. Из ОАБ (рис. 6) находим сдвиг по фазе между током и ЭДС по формуле

(13)