Лабораторная работа №58. Измерение индуктивности катушки методом векторной диаграммы

Цель работы: 1. Изучить вынужденные колебания в контуре

2. Определить индуктивность катушки методом

векторной диаграммы

Теоретическое введение

Электрические колебания возникают в электрической цепи, состоящей из катушки индуктивности L, конденсатора С, обладающая активным сопротивлениемR. Такая электрическая цепь называется колебательным контуром (рис.1)

В колебательном контуре периодически изменяются: величина электрического заряда на обкладках конденсатора, ток по величине и направлению, энергия электрического и магнитного полей, напряженность электрического поля. Процесс периодического изменения этих величин в электрической цепи и представляет собой электромагнитные колебания.

В идеальном колебательном контуре когда отсутствует активное сопротивление, т.е. R=0, возникают свободные незатухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний имеет вид (1)

(1)

где Q – величина электрического заряда, на пластинах конденсатора (Кл);

С - емкость конденсатора (Ф)

L- индуктивность катушки (Гн)

;ω₀– собственная циклическая частота колебаний, С^-1.

Подобное уравнение можно составить относительно любой величины, изменяющейся в этой цепи. Решением таких уравнений являются гармонические функции, представленные формулой (2)

Q=Q_м ^.cos(ω₀t+φ₀) (2)

где Q_м – амплитудное значение заряда, Кл;

(ω₀t+φ₀)– фаза колебаний, радиан;

- собственная циклическая частота колебательного контура.

φ₀ – начальная фаза колебаний, радиан;

t– текущее время, с.

В реальном колебательном контуре, когда (R≠0) возникают свободные затухающие колебания, дифференциальное уравнение которых имеет вид (3)

(3)

обозначим –называется коэффициентом затухания.

Решением уравнения (3) являются гармонические функции, имеющие вид (4)

(4)

где – амплитуда затухающих колебаний, Кл;

ω – циклическая частота затухающих колебаний, с^-1.

Вынужденные колебания в электрической цепи

Колебания, возникающие в электрической цепи, содержащей R,L,C(рис2), под действием внешней переменной электродвижущей силы

ε=ε_м^. cosωt, называются вынужденными.

Рис.2

Вынужденные колебания в электрической цепи описываются уравнением (5)

(5)

где - переменная ЭДС.

- амплитудное значение переменной ЭДС.

ω– циклическая частота переменной ЭДС, с^-1.

Переменная ЭДС возбуждает в цепи переменный ток той же частоты ω, изменяющейся по закону (6)

I=I_М ^.cos(ωt+φ)(6)

где φ– сдвиг по фазе между током и ЭДС.

В общем случае ток и ЭДС в такой цепи по фазе не совпадают. Значения тока и сдвиг по фазе зависят от параметров цепи R,L,C.

Рассмотрим электрическую цепь (рис.2), где R,L,Cсоединены последовательно с ЭДС. Выясним, как изменяются напряжения на каждом из участковR,L,C.

По закону Ома напряжение на участке Rвыразится формулой (7)

U_R=IR=I_MRcos(ωt±φ) (7)

Из сравнения (6) и (7) видим, что напряжение на активном сопротивлении Rи ток совпадают по фазе. На векторной диаграмме амплитудные значения этих величин откладываем вдоль одной прямой(рис.3)

Рис.3

Из формулы(7) ясно, что амплитудное значение напряжения U_RM=I_MR, гдеR– активное сопротивление, определяющее затраты энергии на ленц – джоулево тепло (потребляет мощность).

Напряжение на катушке индуктивности определяется по формуле:

где εCU – ЭДС индукции, В;

İ– первая производная от тока по времени.

После дифференцирования (6) и замены функции синуса на косинус получим формулу (8)

U_L=I_MωLcos((ωt±φ)+π/2) (8)

Сравнивая (6) и (8) видим, что направление U_Lопережает ток по фазе наπ/2. На векторной диаграмме это выглядит так: (рис.4).

X

Рис.4

Из формулы (8) запишем

U_LM=I_MωL (9)

где U_LM – амплитудное значение напряжения;

ΩL – индуктивное сопротивление (RL), которое определяет затраты энергии на возбуждение магнитного поля в катушке.

Напряжение на конденсаторе определяется по формуле:

U_C=Q/C

Учитывая (6) и то, что после интегрирования и перехода к функции косинуса получим формулу (10)

(10)

где – амплитудное значение напряжения на конденсаторе;

–емкостное сопротивление, определяющее потери энергии на возбуждение электрического поля в конденсаторе.

Из (6) и(10) видно, что напряжение U_Cотстает от тока по фазе наπ/2. Векторная диаграмма для этого случая изображена на рис.5.

Рис.5

Сопротивления R_L и R_C называются реактивными (не потребляют мощность).

В замкнутой цепи, изображенной на рис.2, для каждого момента времени имеет место соотношение

Построим (рис.6) векторную диаграмму сложения напряжений в цепи, учитывая сдвиги фаз между ними и током. Для этого выберем ось X и под углом (ωt±φ) к ней проводим прямую на которой откладываем и от этой прямой вверх под углом π/2 откладываем , а вниз под углом π/2 откладываем и проводим сложение векторов , и . В результате сложения получим вектор .

A

Рис.6

Проекции векторов , , , и на ось X представляют собой мгновенные значения этих величин. Взаимное расположение векторов, изображенное на рис.6, сохраняется для любого момента времени. Но в зависимости от соотношения между абсолютными значениями векторов и ток может отставать от ЭДС по фазе (как на рис.6), а может и опережать, если . Из ΔОАВ следует

ε_M² = (U_LM – U_CM)² + U_RM²

После преобразования с учетом амплитудных значений величин U_LM, U_CM и U_RM получим

(11)

Формула (2.7) является законом Ома для цепи переменного тока. Величина является сопротивлением цепи переменного тока, содержащейR, L, C соединенные последовательно. Из ΔОАВ (рис.6) находим сдвиг по фазе φ между током и ЭДС по формуле

(12)