26. Связь между вектором напряженности и потенциалом.

Связь между напряженностью и потенциалом

Итак, электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее:       Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l (Рис. 3.1) в электростатическом поле .       Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl, можно найти так:   (3.4.1)         где El – проекция на ; dl– произвольное направление перемещения заряда.       С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl: , отсюда   (3.4.2)         Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат:   (3.4.3)         По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть       – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.       Тогда коротко связь между  и φ записывается так:   (3.4.4)         или так:   , (3.4.5)   где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона.       Знак минус говорит о том, что вектор  направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

27. Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля.

Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.

1. Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.

2. Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле  по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L₁ в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L₂. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила:

.

Работа этой силы на замкнутой траектории L = L₁ + L₂ равна нулю:

.

Это уравнение, упростив, запишем так:

                         .                       (3.18)

Рис. 3.5.

Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение — элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении  (рис. 3.6.):

                    ,                  (3.19)

здесь q = 1 — единичный заряд.

Рис. 3.6.

При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L:

          .             (3.20)

Интеграл по замкнутому контуру  =  называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости — это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.

Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:

.

Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

28. Понятие ротора векторной функции. Условие потенциальности электростатического поля в дифференциальной форме

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётсяуравнением

где  — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а  — квадратичная форма от координат —потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения(вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливоравенство  и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле,являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равенудвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушариидля антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона,вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковойскоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Дифференциальная формулировка потенциальности поля.

Если воспользоваться формулой Стокса

, то из (6.4) следует дифференциальная формулировка потенциальности поля:

 (6.5)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что

. (6.6)

Тогда сопоставляя (6.6) и (6.5) можно записать:

, (6.7)

где  - некоторая скалярная функция, которая называется потенциалом. Знак «-» выбран для того, чтобы вектор напряженности Е был направлен в сторону убывания . Скалярная функция  называется скалярным потенциалом электрического поля.

Если напряженность поля можно измерить экспериментально, то потенциал  не имеет определенного числового значения и бессмысленно говорить об экспериментальном определении его значения. Потенциал определен с точностью до некоторого постоянного значения.

Для того, чтобы не было неоднозначности, используют процедуру нормировки потенциала. При решении пространственных задач за ноль принимают потенциал бесконечно удаленной точки. А при решении задач, связанных с изучением электрических полей вблизи поверхности Земли, за ноль принимают потенциал Земли.

29. Проводники и диэлектрики. Полярные и неполярные молекулы.

Проводник - это тело, внутри которого содержится достаточное количество свободных электрических зарядов, способных перемещаться под действием электрического поля. В проводниках возможно возникновение электрического тока под действием приложенного электрического поля. Все металлы, растворы солей и кислот, влажная почва, тела людей и животных - хорошие проводники электрических зарядов.

___

Изолятор ( или диэлектрик ) - тело не содержащее внутри свободные электрические заряды. В изоляторах электрический ток невозможен. К диэлектрикам можно отнести - стекло, пластик, резину, картон, воздух. тела изготовленные из диэлектриков называют изоляторами. Абсолютно непроводящая жидкость – дистиллированная, т.е. очищенная вода, (любая другая вода (водопроводная или морская) содержит какое-то количество примесей и является проводником)

Неполярные диэлектрики (нейтральные) — состоят из неполярных молекул, у которых центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Следовательно неполярные молекулы не обладают электрическим моментом и их электрический момент p = q • l = 0. Примером практически неполярных диэлектриков, применяемых в качестве электроизоляционных материалов, являются углеводороды, нефтяные электроизоляционные масла, полиэтилен, полистирол и др.

Полярные диэлектрики (дипольные) — состоят из полярных молекул, обладающих электрическим моментом. В таких молекулах из-за их асимметричного строения центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают. При замещении в неполярных полимерах некоторой части водородных атомов другими атомами или не углеводородными радикалами получаются полярные вещества. При определении полярности вещества по химической формуле следует учитывать пространственное строение молекул. К полярным диэлектрикам относятся феноло-формальдегидные и эпоксидные смолы, кремнийорганические соединения, хлорированные углеводороды и др. Примеры молекул неполярных и полярных веществ показаны на рис. 1.3.