ШПОРЫ_1 / 6. Аппроксимация вольт-амперных характеристик полупроводниковых диодов и транзисторов

6. Аппроксимация вольт-амперных характеристик полупроводниковых диодов и транзисторов. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов

Вольтамперные характеристики нелинейных элементов на практике чаще всего получают экспериментальным путем и представляют их или в графической форме [в виде графической диаграммы функции ], или в табличной форме [в виде таблицы координат точек функции ]. При аналитических методах расчета нелинейных цепей к ВАХ предъявляются требования, чтобы они были представлены в аналитической форме, т.е. в виде аналитического выражения.

Под аппроксимацией ВАХ понимают замену ее графической или табличной формы на аналитическую. К уравнению аппроксимации предъявляются два противоречивых требования. Во-первых, уравнение аппроксимации должно по возможности точно описывать заданную ВАХ. Для более полного выполнения этого требования необходимо усложнять структуру этого уравнения. Во-вторых, уравнение аппроксимации, будучи введенным в систему уравнений Кирхгофа, должно позволять решение этой системы доступными методами. Для выполнения этого требования структура этого уравнения должна быть по возможности более простой. Таким образом, при выборе уравнения аппроксимации всегда приходится принимать компромиссное решение между этими двумя требованиями.

Различают два способа аппроксимации нелинейных ВАХ – полная и кусочная (по частям).

В простейших случаях при монотонном характере изменения функции I(U) ВАХ может быть аппроксимирована полностью одним  нелинейным уравнением (рис. 212а).

В более сложных случаях, когда функция I(U) имеет несколько максимумов и минимумов, полная аппроксимация ВАХ одним уравнением становится проблематичной и нерациональной. В таких случаях применяют кусочную аппроксимацию. Суть ее состоит в том, что вся ВАХ разбивается по тому или другому принципу на отдельные участки (куски) (рис. 212б). Отдельные участки аппроксимируются однотипными, но простыми по структуре, уравнениями, коэффициенты в которых изменяются при переходе от одного участка к другому. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются отрезками прямой , то такая аппроксимация получила название кусочно-линейной. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются квадратичной () или кубической () параболой, то отдельные участки получили название сплайнов, а сама аппроксимация – аппроксимации сплайнами. Кусочная аппроксимация позволяет получить высокую степень приближения к заданной ВАХ, однако требует большого числа однотипных расчетов при определении коэффициентов в уравнениях аппроксимации.

Кусочная аппроксимация широко применяется при расчете нелинейных цепей на ЭВМ.

7. Аналитические методы расчета нелинейных цепей

Установившейся режим нелинейной цепи постоянного тока можно описать системой нелинейных алгебраических уравнений Кирхгофа, в которых связь между напряжением и током на нелинейных элементах выражена в виде нелинейного уравнения аппроксимации.

Как известно, в математике не существует общих методов решения систем нелинейных уравнений. В каждом конкретном случае метод решения определяется конкретными условиями задачи: структурой системы уравнений, типом аппроксимации ВАХ нелинейных элементов и другими факторами.

В самых простых случаях возможно выполнить непосредственное решение нелинейного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R1 и нелинейного резистора НЭ2 (рис. 213), ВАХ которого аппроксимирована уравнением: а); б); в).

По второму закону Кирхгофа получим уравнение: .

Вид решения этого уравнения зависит от структуры уравнения аппроксимации ВАХ.

а)  решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным током I;

б) решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным напряжением U2;

в) требуется решение алгебраического уравнения 5-й степени, что выполнить обычным методом невозможно.

В общем случае для решения системы нелинейных алгебраических уравнений используют так называемый метод последовательных приближений или метод итераций. Сущность данного метода состоит в следующем: задаются в первом приближении значением искомой величины . Решают задачу по выбранному алгоритму в направлении к источнику, в результате чего определяют расчетное значение ЭДС источника . Сравнивают расчетное значение ЭДС источника  с заданным значением Е и с учетом неравенства   задаются значением искомой величины во втором приближении и повторяют расчет по тому же алгоритму. Циклы расчета (итерации) повторяют до достижения желаемой точности искомой величины.

Метод последовательных приближений широко используется при расчете нелинейных цепей с помощью ЭВМ. При составлении алгоритма расчета для ЭВМ следует особое внимание обращать на то, чтобы итерационный процесс сходился, в противном случае ЭВМ выдаст ошибку. Рассмотрим несколько примеров.