25
3.4. СИНТЕЗ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ МЕТОДОМ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ
3.4.1.ОСНОВЫ МЕТОДА
Вметоде частотной выборки импульсная характеристика фильтра h(n)N находится путем дискретизации по частоте заданной частотной
характеристики Hd(jω ) и вычисления ее обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).
Дискретизация частотной характеристики Hd(jω ) по частоте
осуществляется в полосе 0 ... ω д путем перехода от непрерывных значений частоты ω к дискретным: ω k = ∆ω k, где k = 0, 1, ..., N − 1; ∆ω = ω д/N − шаг
дискретизации; k − номер частотной выборки; N − число точек
дискретизации. Расположение частот выборок на окружности e jω KTд комплексной Z-плоскости для четного и нечетного значений N показано на рис. 3.8.
|
|
|
ω |
+ |
|
ω |
Д / 2 |
∆ ω T Д |
0 |
ω |
Д |
− ω |
Д / 2 |
|
|
− ω |
Д |
|
|
|
ω |
− |
|
|
|
N - четное |
|
|
|
ω |
к |
|
|
ω |
+ |
/ 2 |
0 |
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
ω |
− |
|
N - нечетное |
|
Рис. 3.8. Расположение точек дискретизации ЧХ на комплексной плоскости
Шаг |
дискретизации |
по частоте ∆ω выбирается |
из условия |
∆ω ≤ ∆ω |
пер/(L+1), где L − |
целые числа, L = 0, 1, 2, ...; ∆ω пер − |
переходная |
полоса фильтра. |
|
|
|
Врезультате получается дискретизированная частотная
характеристика фильтра (ДЧХ) H d ( jω k ) = H d ( jω ) |
ω = ω k |
(рис. 3.9). Так как |
заданная частотная характеристика соответствует физически нереализуемому фильтру с нулевым запаздыванием, то для ЦФ со ступенчатообразными АЧХ дискретизированная частотная характеристика отождествляется далее с их дискретизированной АЧХ.
Дискретизация частотной характеристики на рис. 3.9 выполнена с шагом
∆ω = ∆ω
26
|Hd(jω)| |
|
|
|
|
|
|
|Hd(jωk)| |
|
|
|
|
|
H1 |
H1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 2 |
(N-1)/2 |
N-1 |
N |
k |
|
|
ω |
|||
Δω |
Δωпер |
ωд/2 |
|
ωд |
|
Рис. 3.9. Дискретизированная ЧХ цифрового фильтра нижних частот |
|||||
ДЧХ имеет значения, равные в полосе пропускания 1 (Hd(jω k) = 1), в полосе задерживания − нулю ( Hd(jω k) = 0 ) и в переходной полосе – некоторым промежуточным варьируемым (оптимизируемым) значениям Hd(jω k) = H1 = = var, от которых зависит качество аппроксимации заданной частотной характеристики.
ДЧХ Hd(jω k) можно поставить в соответствие некоторую импульсную характеристику hp(m), определяемую с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), получаемого путем дискретизации по частоте общего выражения для импульсной характеристики hd(m), соответствующей заданной (непрерывной ) частотной характеристике
Hd(jω ):
|
|
|
h ( m ) = |
Tд |
ω д |
H |
|
( jω |
|
) e jω mTд dω . |
|
|
|||
|
|
|
|
d |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
2π |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
− 1 |
Выполняя замены: ω → ω |
k ; |
|
dω → |
|
|
∆ω |
= ω д / N ; ∫→ ∑ |
, получим |
|||||||
импульсную характеристику hp(m): |
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
N |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N − 1 |
|
|
|
hp ( m ) = |
∑ |
H d ( jω k ) e jω |
k mTд = |
|
|
∑ |
H d ( jω k ) e jω k |
( m+ iN )Tд , |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
N k = 0 |
|
|
|
|
|
|
N k = 0 |
|
|
|
||||
где i = 0, ± 1, ± 2, ± ... .
Индекс “p” означает, что эта импульсная характеристика является периодической с периодом Np = N, т. к. дискретизации в частотной области соответствует периодизация во временной области (рис. 3.10 ).
|
hр(m) |
|
|
|
-(N-1)/2 0 |
(N-1)/2 |
N |
2N |
m |
Рис.3.10. Импульсная характеристика, соответствующая ДЧХ |
||||
27
В качестве импульсной характеристики синтезируемого методом частотной выборки НФ выбирается один период импульсной характеристики hp(m), сдвинутый вправо на (N − 1)/2 отсчетов (для обеспечения физической реализуемости) и усеченный прямоугольной весовой функцией (для получения КИХ-фильтра) (рис. 3.11):
h( m ) = hp ( m − |
N − 1 |
), |
|
|
|
|
m = 0, 1, …, N-1. |
||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hp(m) |
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Рис. 3.11. Импульсная характеристика НФ, синтезированного методом частотной выборки
По импульсной характеристике h(m) находится частотная характеристика фильтра H(jω ), аппроксимирующая заданную:
H( jω ) = ∑ |
h( m )e− jω mTд = |
1∑ |
N |
|
|
|
( jω k ) ∑ |
− 1 |
|
|
m− |
N − |
|
1 |
|
− jω mTд |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
H d |
e |
k |
|
2 |
|
|
|
д e |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
jω |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||
|
m= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
m= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
N − 1 |
|
|
|
|
|
|
N − |
1 |
|
|
N |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
∑ |
H d ( jω k )e− jω k |
|
2 |
Tд ∑ |
|
|
e |
− j( ω − |
ω k )mTд = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
N − |
1 |
|
|
N − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
ω |
− |
ω |
k |
|
NT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
e− j ω |
|
|
|
Tд 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
2 |
∑ |
Hd ( jω |
k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N k = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
− ω |
k |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(При выводе использовано выражение для суммы конечного числа членов |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
геометрической прогрессии). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В этом |
выражении |
|
множитель |
e |
− |
jω |
|
|
|
Tд |
|
определяет |
ФЧХ фильтра: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ (ω ) = − ω |
N − 1 |
T |
, |
|
которая |
|
строго |
|
|
|
линейна |
|
|
вследствие |
симметрии |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
импульсной характеристики. |
|
= ω |
|
|
|
H(ω k) = Hd(ω k) точно совпадает с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АЧХ фильтра на частотах ω |
k: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частотными выборками ДЧХ, а на частотах ω |
|
≠ ω |
k |
|
H(ω |
|
) |
|
|
≠ |
Hd(ω ) |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||
отличается от заданной на величину погрешности аппроксимации (пунктир на рис. 3.9).
28
С учетом свойств четной симметрии АЧХ: |Hd(jω k)| = |Hd(jω N-k)| и нечетной симметрии ФЧХ: ϕ(ω k) = − ϕ(ω N-k) выражение для частотной характеристики фильтра преобразуется к более удобному для расчетов виду:
|
|
|
|
|
|
(jλ |
|
) |
|
|
|
|
|
λ − |
λ |
k |
|
|
|
λ |
+ λ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
N |
sin |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
λ N |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
kв |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
H d (0) |
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
H ( jλ ) |
d |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
N / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
− λ |
|
|
|
|
λ + λ |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
λ |
|
||||||||||
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазовый множитель |
e− jω |
|
|
|
Tд |
в этом выражении опущен; λ |
=ω Tд. |
|
|
Верхний |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предел суммирования kв = (N − |
1)/2 – при нечетном N и kв = (N/2) − |
1 – при чет- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ном. В случае четного N |
|
для фильтра с линейной ФЧХ выполняется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условие |Hd(jω |
N/2|= 0, ϕ(ω |
N/2) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Качество аппроксимации в данном методе зависит от числа выборок |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частотной характеристики в переходной полосе L и их значений Hi |
опт |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(i = 1, 2, ..., L), делающих аппроксимируемую функцию более гладкой. Различным значениям L соответствуют следующие примерные значения максимального уровня боковых лепестков:
L = 0:δ 2мах ≈ − 20 |
дБ; |
L = 1: |
δ 2мах ≈ − 40 |
дБ; |
L = 2:δ 2мах ≈ − 50 |
− 60 дБ; |
L = 3: |
δ 2мах ≈ − 80 |
− 100 дБ. |
Реально методом частотной выборки можно синтезировать НФ с минимальным затуханием в полосе задерживания до ( 90− 120 ) дБ.
Таким образом, оптимизация фильтра заключается в выборе L − числа выборок в переходной полосе и поиске их оптимальных значений Hi опт, минимизирующих погрешности аппроксимации. Очевидно, что с увеличением числа варьируемых выборок существенно усложняется процедура оптимизации. Она достаточно эффективно реализуется на ЭВМ методом линейного программирования.
3.4.2. СИНТЕЗ НФ ВТОРОГО ТИПА МЕТОДОМ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ
Путем |
дискретизации заданной |
частотной характеристики Hd(jω ) |
на |
дискретных частотах ω k = ( k+ 0,5 )ω |
д/N (λ k = 2π (k+ 0,5 )/N), k = 0 .. N − |
1 |
|
(рис. 3.12) |
могут быть синтезированы НФ второго типа. |
|
|
Импульсная характеристика таких фильтров находится по аналогии с импульсной характеристикой НФ первого типа:
|
1 |
N |
− 1 |
|
N − 1 |
|
1∑ |
N − 1 |
2 |
ð |
|
1 |
|
N − |
1 |
|||
|
Hd(jùk )e jùk(n− |
|
|
)Tд = |
Hd(jùk )e j |
|
|
(k+ |
|
)(n− |
|
|
) , |
|||||
h(n) = |
∑ |
|
2 |
|
|
N |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
N k = 0 |
|
|
|
|
N k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n = 0, 1, .. N − 1.