Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

м_Груздев-Макаренко_контр_ч.3 / м_Груздев-Макаренко_контр_ч

.3.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

750.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Условие минимума для клина в общем случае:

2dncos γ +	λ	= (2m +1)	λ	;	m = 0, 1, 2,...,	(1)
	2		2

где d – толщина клина в месте темной полосы, соответствующей номеру m; γ – угол преломления; λ/2 – дополнительная разность хода, обусловленная отражением световой волны от оптически более плотной среды.

Угол падения, согласно условию, равен нулю, следовательно, γ = 0.

Тогда условие (1) запишется в виде 2dn = mλ . Откуда d = m2nλ . Из рис. 3

следует, что	sin α = dm+1 − dm .
			(2)
	b
Однако из-за малости угла sin α ≈ α, поэтому, подставив в формулу
(2) толщины dm+1	и dm , получим α = (m +1)λ − mλ	=	λ	.

	2bn		2bn

Откуда найдем искомое расстояние между двумя соседними минимумами: b = 2nλα (α здесь выражается в радианах).

Вычисляя, получаем b = 1,03 мм.

Задача 7. Определить радиус пятой зоны Френеля, если расстояние а от точечного монохроматического источника света ( λ = 600 нм) до волновой поверхности равно 2 м, а расстояние b от волновой поверхности до точки наблюдения равно 3 м.

Решение. На рис. 4 S – точечный источник монохроматического света, распространяющегося в однородной среде, М – точка наблюдения, Ф – волновая поверхность. Внешняя граница m-ой зоны Френеля радиуса rm (cм. рис. 4) выделяет на волновой поверх-

ности сферический сегмент высотой hm. Размеры кольцевых зон Френеля таковы, что разность хода лучей, идущих от

соответственных	точек каждой	соседней
зоны до точки	наблюденія М,	равна	λ	,
поэтому, если имеем m зон Френеля, то			2	Рис. 4
поэтому, если имеем m зон Френеля, то				Рис. 4

	PM = b +		mλ		(b = OM ).
	PM = b +				(b = OM ).
Очевидно, что			2
Очевидно, что
rm2 = a2	−(a − hm )	2	=			mλ 2	(b + hm )	2	.	(1)
rm2 = a2	−(a − hm )		=	b +		−	(b + hm )		.	(1)
						2

Поскольку λ мала (λ << a,λ << b), членом				m2λ2		пренебрегаем. Тогда
					4
h =	bmλ		.			(2)
h =	2(a +b)		.			(2)
m	2(a +b)
Из уравнения (1) следует, что r2		= 2ah − h2			, а при h << a
	m	m		m		m
r2	= 2ah .					(3)
m		m

Подставив формулу (2) в выражение (3), найдем искомый радиус зо-

ны Френеля: r =	mabλ	.

m	a +b

Вычисляя, получим rm =1,9 мм.

Задача 8. На дифракционную решетку с периодом d = 10 мкм под углом Θ = 30 к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны λ = 550 нм. Определить угол ϕ дифракции, отвечающий третьему главному максимуму.

Решение. Оптическая разность хода двух сходственных лучей (рис. 5) при наклонном падении параллельного пучка монохроматического света на дифракционную решетку (на рисунке АД – период d дифракционной решетки)

	∆ = AB −СД = d sin ϕ− d sin Θ,	(1)
	где ϕ – угол дифракции, Θ – угол падения пучка
Рис. 5	где ϕ – угол дифракции, Θ – угол падения пучка
	света к поверхности дифракционной решетки.
	света к поверхности дифракционной решетки.
Условие главных максимумов для дифракционной решетки:
	∆ = ±mλ (m = 0,1,2,…),	(2)

где согласно условию задачи m = 3.

Приравняв выражения (1) и (2), получим d sin ϕ− d sin Θ = mλ,

или

sin ϕ =sin Θ+ mdλ .

Откуда искомый угол дифракции

ϕ= arcsin sin Θ+ mλ .

Вычисляя, получаем ϕ = 37,6 .

Задача 9. На щель шириной а = 0,1 мм параллельно падает пучок света от монохроматического источника ( λ = 0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстающий от линзы на расстояние L = 1м.

Решение. Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 6). Минимумом интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдается под углами ϕ,

определяемыми условием:
asin ϕ = ±mλ,	(1)
где m – порядок минимума; в нашем
случае равен единице.
Расстояние между двумя мини-
мумами на экране определим	непо-	Рис. 6

средственно по чертежу: l = 2Ltdϕ. Так как при малых углах tgϕ ≈sin ϕ,

перепишем эту формулу в виде:
l = 2Lsin ϕ	(2)

Выразим sin ϕ из формулы (1) и подставим его в равенство (2): l = 2Lma λ .

После вычисления получим l =1,2 см.

Задача 10. На дифракционную решетку с периодом 2 мкм нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. Какую разность длин волн может разрешить эта решетка в области красного света ( λ1 = 0,7 мкм) в спектре второго порядка, если ширина решетки 2,5 см? На

какую длину волны в спектре второго порядка накладывается синяя линия ( λ2 = 0,447 мкм) спектра третьего порядка?

Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки

R =	λ	= mN ,	(1)
	∆λ

где N – общее число щелей решетки, m – порядок спектра.

Период решетки d = 1 , где N0 – число щелей на 1 м длины.

Зная ширину		дифракционной решетки, находим общее число ще-
лей решетки
			N = N0 =		.	(2)
				d

Из формулы (1) с учетом (2) находим:
∆λ =	λ	= λd ;	∆λ = 7 10−7 2 10−6			= 2,8 10−11 м.
	mN
		m	2 2,5 10−2

Направления на главные максимумы дифракционной решетки определяются условием d sin ϕ = mλ, где m = 0, 1, 2, … – порядок спектра, ϕ – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к ре-

шетке.
При наложении спектральных линий выполняется условие:
d sin ϕ = m λ	2	; d sin ϕ = m λ		3	или	m λ	2	= m λ	3	, откуда λ	3	= m2λ2	;
2	2	3		3		2	2	3	3		3	m3
												m3
		λ3 = 2 4,47			10−7	= 2,98 10−7				м.
			3

Задача 11. Свет от монохроматического источника ( λ = 0,6 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием r = 0,6 мм. Темным или светлым будет центр дифракционной картины на экране, находящемся на расстоянии b = 0,3 м от диафрагмы?

Решение. Радиусы зон Френеля, на которые следует разбить отверстия, чтобы определить их число, определяются по формуле rm = mλb , где m – номер зоны, λ – длина волны, b – расстояние от диафрагмы до экрана.

	r2			36 10−8
Из этой формулы m =	m	;	m =		= 2 .
Из этой формулы m =	bλ	;	m =	0,3 6 10−7	= 2 .
	bλ			0,3 6 10−7

Число зон четное, следовательно, центр картины на экране будет темным.

Задача 12. Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм под углом 15°12′ к поверхности кристалла.

	Решение. Дифракция рент-
	геновских лучей на кристаллах –
	это результат интерференции рент-
	геновского излучения, зеркально
	отражающегося от системы парал-
	лельных плоскостей, которые про-
	ходят через узлы – атомы (напри-
	мер, А, рис. 7) кристаллической
	решетки. Эти плоскости называют	Рис. 7
	атомными. Отражение наблюдается	Рис. 7
	атомными. Отражение наблюдается


лишь в тех направлениях, соответствующих дифракционным					максимумам,
которым удовлетворяет соотношение ∆ =	ВС	+	ВД	= 2d sin Θ, или
которым удовлетворяет соотношение ∆ =	ВС	+	ВД	= 2d sin Θ, или

2d sin Θ = mλ,

(1)

где m = 1, 2, 3, … – порядок дифракционного максимума, Θ – угол скольжения, то есть угол между падающим лучом и плоскостью кристалла, d – расстояние между соседними плоскостями, называемое межплоскостным.

Исходя из условия (1) и учитывая, что m = 1, имеем:

	λ			1,47 10−10
d =		;	d =	′ ≈ 2,8 10−10	м = 0,28	нм.
d =	2sin Θ	;	d =	′ ≈ 2,8 10−10	м = 0,28	нм.
				2sin15 12

Задача 13. Естественный свет падает на кристалл алмаза под углом полной поляризации. Найти угол преломления света (n = 2,42).

Решение. При падении естественного света на поверхность под углом αБ полной поляризации отраженный луч будет полностью поляризован. По закону

Брюстера tgαБ = n2 равен отношению пока- n1

	зателей преломления алмаза и воздуха, и угол
	между отраженным и преломленным лучами
	равен 90°. Поэтому tgαБ = 2,42 и αБ = 67°30′,
	а из рис. 8	видно, что угол преломления
	γ =180 −90	′
Рис. 8		′
Рис. 8		−λ< = 22 30 .

Задача 14. Интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, уменьшилась в 2,3 раза. Во сколько раз она уменьшится, если за первым поставить второй такой же поляризатор так, чтобы угол между их главными плоскостями был равен 60°?

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого I1 с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

I =	I0	(1− k) .	(1)

1	2

После прохождения второго		поляризатора	интенсивность света

уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом потерь на отражение и поглощение света эта интенсивность равна

I	2	= I (1 − k)cos2	α,	(2)
	2	1

где α – угол между плоскостью поляризации света, которая параллельна главной плоскости первого поляризатора, и главной плоскостью второго поляризатора.

Найдем, во сколько раз уменьшилась интенсивность света:

− k)2 cos2 α

Выразим из (1):

1− k = 2I1 .

Подставляя (4) в (3), получим:

2cos2

Проверяя вычисления, найдем:

2,32 ≈10,6 .

2cos2 60

(3)

(4)

Задача 15. Плоскопараллельная пластинка из исландского шпата с минимальной толщиной dmin = 1,93 мкм служит пластинкой в полдлины волны для оранжевого света (λ = 656 нм). Определить показатель преломления для необыкновенного луча, если показатель преломления для обыкновенного луча n0 = 1,655.

Решение. Кристаллическая пластинка в полдлины волны – пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, для которой оптическая разность хода

∆ = (n0 − ne )d = ±(m + 12)λ, (m = 0,1,2,...) ,

причем знак «+» соответствует отрицательным кристаллам, а знак « – » – положительным. При нормальном падении на пластинку «λ/2» плоскополяризованного света между обыкновенным и необыкновенным лучами в пластинке (в кристалле эти лучи пространственно не разделены) возникает оптическая разность хода, равная λ/2.

Рассматриваемый в задаче исландский шпат – отрицательный кристалл ( n0 > ne ), поэтому можно записать:

(n0 − ne )d = (m + 12)λ, (m = 0,1,2,...) .

Минимальная толщина пластинки в полдлины волны соответствует m = 0. Тогда dmin (n0 − ne ) = λ2 .

	Откуда искомый показатель преломления для необыкновенного луча
n	= n −	λ	. Вычисляя, получаем: ne = 1,485.

e	0	2dmin

Задача 16. Естественный свет падает на поверхность диэлектрика под углом полной поляризации. Степень поляризации преломленного луча составляет 0,124. Найти коэффициент пропускания света.

III = I ,

(1)

где индексы обозначают колебания, параллельные и перпендикулярные плоскости падения света на поверхность диэлектрика, причем интенсивность падающего света

I = III + I .

(2)

При падении света под углом полной поляризации отражаются только волны, поляризованные в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения. В преломленной волне преобладают колебания, параллельные плоскости падения.

Интенсивность преломленной волны можно записать как

′′

(3)

= III + I .

′′

интенсивности преломленной волны равны:

Составляющие III

и I

′′

= I − I

′

(4)

III =

где I′ – интенсивность отраженного света.

Степень поляризации преломленного луча

′′

p′′ =

III

− I

III

− I

(5)

′′

III

+ I

С учетом равенств (4) и (1) выражение (5) можно представить в виде:

p′′ =

I′

(6)

I′′

Коэффициент пропускания света определяется как

τ =

I′′

(7)

I′+

I′′

или с учетом выражения (6) τ =

1+ p′′

Проведя вычисления, получим: τ =

≈ 0,89 .

1+ 0,124

Задача 17. Раствор сахара с концентрацией 0,25 г/см3 толщиной 20 см поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на 30°20′. Другой раствор толщиной 15 см поворачивает плоскость поляризации на 20°. Определить концентрацию сахара во втором растворе.

Решение. Угол поворота плоскости поляризации определяется по формуле

								ϕ=[α]с	,
где [α]	– удельное вращение,							ϕ1 =[α]с1 1	, отсюда [α]=	ϕ1	; ϕ2 =[α]с2 2 ,
где [α]	– удельное вращение,							ϕ1 =[α]с1 1	, отсюда [α]=		; ϕ2 =[α]с2 2 ,
		ϕ2			ϕ2с1			20 0,25 20 ≈ 0,22 г/см3.		с1 1
тогда с	=	ϕ2		=	ϕ2с1	1	; с =
тогда с	=	[α]		=	ϕ		; с =
2		[α]	2		ϕ	2		30,33 15
			2		1	2

Задача 18. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647; 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорость света вблизи длины волны 534 нм.

Решение. Групповая скорость U связана с фазовой скоростью υ света в среде соотношением:

= υ−λ

dυ

(1)

dλ

Учитывая, что υ =

, из (1) получаем: U

λdn

= υ 1+

ndλ

Для средней дисперсии вещества имеем:

λ ∆n

= υ 1

(2)

n ∆λ

Для λ = 534 нм и

1,640

находим

относительную

дисперсию

λ ∆n

535(1,647 −1,630)

≈ −0,069 . Из соотношения (2) определяем

∆λ

1,640(509 −589)

λ ∆n

=(1

−0,069)= 0,931

; U = 0,931υ.

= 1

(3)

n ∆λ

Учитывая, что фазовая скорость υ= nc , находим ее значение вблизи

λ = 534 нм:

υ= 3 108 ≈1,83 108 м/с. 1,640

По формуле (3) вычисляем групповую скорость:

U = 0,931 1,83 108 ≈1,70 108 м/с.

Задача 19. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в конусе с раствором 82°. Определить кинетическую энергию протонов. Показатель преломления каменной соли 1,54.

Решение. Излучение Вавилова – Черенкова возникает, когда скорость движения υ заряженной частицы в среде больше фазовой скорости

света nс в этой среде (с – скорость света в вакууме, n – показатель прелом-

ления среды). Излучение направлено вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением движения частицы. Угол Θ между направлением излучения и направлением движения частицы определяется формулой

		cosΘ =				c	.											(1)
		cosΘ =					.											(1)
						nυ
	Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется как

				1
	T = E			1								−1		,				(2)
	T = E											−1		,				(2)
		0			υ					2
			1−							2


					c
где	E = mc2 – энергия покоя частицы, m – масса.
	0
	Для протонов Е0 = 938,28 МэВ. Отношение																υ	определим из (1):
		υ =		1													c
				1					.									(3)
			ncosΘ						.									(3)
		c	ncosΘ
	Подставляя (3) в (2), получим:
	T = E			ncos							Θ
															−	1 .
				2					2						−	1 .
		0	n	2		cos			2		Θ −1
			n			cos					Θ −1
	Проведя вычисления, найдем:

		1,54cos 41
	T =938,28												−	1		≈902,9 МэВ.
	T =938,28	(1,54cos 41 )						2					−	1		≈902,9 МэВ.
											−1
											−1

Задача 20. Абсолютно чёрное тело было нагрето от температуры 100 °С до 300 °С. Найти, во сколько раз изменилась мощность суммарного излучения при этом.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>