Учебн. пособия-ОНИ / 2. Бабиюк_Алчевск-07

Обработка и обобщение результатов исследований

двух остальных переменных x и y (при zi = const) строят графики y = f1 (x).В результате на одном графике получают семейство кривых.

Большую роль при графическом изображении играет выбор системы координат. Координатные сетки бывают равномерными и неравномерными, логарифмическими и вероятностными. Назначение неравномерных сеток различное. В большинстве случаев их применяют для более наглядного изображения функций, например, криволинейные функции спрямляют на логарифмических сетках.

Для облегчения систематических расчетов c использованием сложных теоретических или эмпирических формул строят номограммы, с помощью которых можно представить любые алгебраические выражения. В результате сложные математические выражения можно заменить графиками. Построение монограмм является трудоемким процессом. Существует несколько методов, наиболее эффективным является способ, в котором переменные представляются как безразмерные критерии.

6.2 Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных исследований получают статистический ряд измерений. Например, для функции двух переменных у = f (х) каждому значению функции у1,…,уn соответствует определенное знание аргумента х1,…, хn. На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения, которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы содержат постоянные величины, установленные по опытным данным, они имеют ограниченную область применения, которая не должна выходить за пределы эксперимента. Тем не менее, эмпирические формулы имеют очень большое значение и весьма широко применяются. Необходимость в подборе эмпирических формул возникает, кроме того, при замене сложного аналитического выражения, которое требует громоздких вычислений, упрощенной эмпирической зависимостью. Часто эмпирические фор-

мулы незаменимы для анализа измеренных величин.

Таким образом, эмпирические формулы являются приближен-

191

Обработка и обобщение результатов исследований

Если график имеет вид кривых на рис. 6.2, в, то можно использовать выражение y=a×eвх , которое линеаризуется на полулогарифмической сетке, заменяя y=lg y : y =lga+xв×lge .

При подборе эмпирических формул широко используются по-

где А0, …, Аn – постоянные коэффициенты.

Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически представляют собой непрерывные функции. Даже при неизвестном выражении (6.1), ее функции можно определить, применяя методы средних и наименьших квадратов.

Построение эмпирических зависимостей по табличным дан-

ным. Рассмотрим последовательность построения эмпирических зависимостей между исследуемыми величинами х и у, если они заданы таблицей экспериментальных данных. В качестве примера возьмем результаты лабораторного определения величины коэффициента крепости по шкале М.М. Протодьяконова и соответствующие им значения контактной прочности (твердость) по Л.Н. Барону, определяемой путем вдавливания плоского штампа диаметром 2-3 мм в нешлифованную поверхность образца (табл. 6.1).

За независимую переменную примем коэффициент крепости горных пород f, а за функцию – контактную твердость Рk. Разобьем интервал изменения f на n = 50 одинаковых частей, для чего вначале определим шаг разбивки с использованием формулы Стэрджеса:

h= xmax -xmin = 19,4-0,6 =2,8 . 1+3,322lgn 1+3,322×1,699

Принимаем интервал изменения коэффициент крепости пород от 0 до 20 с шагом разбивки n = 2, и строим на основании этого табл. 6.2, где средним значениям Рkі в каждом і-м интервале соответствует среднее значение fі. С использованием средних построена

табл. 6.3, где первые ( DPki ), вторые ( D2Pki ) и третьи ( D3Pki ) разности определяются по формулам:

193

Обработка и обобщение результатов исследований

DPk1 =Pk2 -Pk1 =194-49=145МПа; DPk2 =Pk3 -Pk2 =410-194=216 МПа; DPk3 = Pk4 -Pk3 =694-410=284 МПа;

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

D2 Pk1 =DPk2 -DPk1 =216-145=71МПа; D2Pk2 =DPk3 -DPk2 =284-216=68 МПа;

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

D3Pk1 =D2Pk3 -D2 Pk2 =68-71=-2 МПа и т.д.

Полагая, что u = f -n f1 , искомую зависимость можно записать в виде ряда:

Если в табл. 6.3 разности m-го порядка находятся в пределах точности эксперимента, то m + 1 разности можно не рассчитывать, а для m-х следует найти их среднее значение.

В нашем случае вторые разности можно считать стабильными, а их среднее значение равно:

Преобразовав выражение, получим эмпирическую форму, связывающую показатель контактной твердости пород с коэффициентом крепости:

Зависимость (6.3) представляет собой квадратичный трехчлен, часто используемый для аппроксимации многих зависимостей.

195

Основы научных исследований

Таблица 6.2 Средние значения параметров f и Pu

Таблица 6.3 Расчет разностей

Обработка и обобщение результатов исследований

Метод средних. Метод средних основан на следующем предположении. Если по экспериментальным точкам можно построить несколько плавных кривых, то наилучшей будет та кривая, у которой разностные отклонения наименьшие. Следовательно, подбор эмпирической формулы по методу средних основывается на условие равенства нулю всех отклонений функции от среднего значения, т.е.

i=1

где εi =yi−y – единичное отклонение.

Последовательность нахождения коэффициентов эмпирической формулы по методу средних сводится к следующему:

а) на основании предварительного анализа результатов эксперимента устанавливают вид функции, в качестве которой чаще всего используют многочлен;

б) определяют число членов ряда, обычно ограничиваясь 3-4; в) в принятое выражение подставляют все пары измеренных

г) обычно число уравнений больше количества коэффициентов А, поэтому отклонения распределяют на столько групп, сколько неизвестных коэффициентов в уравнении;

д) приравнивая к нулю сумму отклонений для каждой из групп, получают систему линейных уравнений относительно искомых параметров А. Для решения систем уравнений в математическом обеспечении ПЭВМ имеются стандартные программы;

е) после определения численных значений коэффициентов проверяется качество аппроксимации сопоставлением знаний функции и экспериментальных точек.

Для иллюстрации метода средних воспользуемся результатами лабораторного определения коэффициента крепости и контактной

197

Обработка и обобщение результатов исследований

ковой точностью, а ошибки измерения соответствуют нормальному закону, то параметры исследуемого уравнения определяются из условия, что сумма квадратов отклонений измеренных значений от расчетных принимает наименьшее значение.

Если аппроксимирующее уравнение записать в виде

а имеющиеся данные в точках хi обозначить через уi, то условием минимума суммы квадратов будет равенство:

i=1

где п – число экспериментальных точек.

В математическом обеспечении современных ЭВМ имеются стандартные программы для аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов обеспечивает результаты высокой надежности.

Применение метода продемонстрируем на предыдущем примере для квадратного трехчлена

параметры которого определяются из системы уравнений:

Расчет коэффициентов эмпирического уравнения производится на основе табл. 6.5, используя данные последней строки для составления системы:

199