Учебн. пособия-ОНИ / 2. Бабиюк_Алчевск-07

Основы научных исследований

ЛЕКЦИЯ 9

4.5 Вероятностно-статистические методы исследований

Во многих случаях в горной науке необходимо исследовать не только детерминированные, но и случайные процессы. Все геомеханические процессы протекают в непрерывно изменяющихся условиях, когда те или иные события могут произойти, а могут и не произойти. При этом возникает необходимость анализировать случайные связи.

Несмотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей, которая изучает теоретические распределения случайных величин и их характеристики. Способами обработки и анализа случайных эмпирических событий занимается другая наука, так называемая математическая статистика. Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов, широко применяемую в научных исследованиях.

Элементы теории вероятностей и матстатистики. Под со-

вокупностью понимают множество однородных событий случайной величины х, которая составляет первичный статистический материал. Совокупность может быть генеральной (большая выборка N), содержащей самые различные варианты массового явления, и выборочной (малая выборка N1), представляющая собой лишь часть генеральной совокупности.

Вероятностью Р(х) события х называют отношение числа случаев N(х), которые приводят к наступлению события х, к общему числу возможных случаев N:

В математической статистике аналогом вероятности является поня-

тие частости события y(x) , представляющей собой отношение числа случаев n(x) , при которых имело место событие, к общему числу событий:

y(x)=n(x)/n . (4.52)

101

Основы научных исследований

ные значения измеренной величины;

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание записывается в виде

−∞

т.е. равно действительному значению наблюдаемых событий х, а соответствующая матожиданию абсцисса называется центром распределения.

которая характеризует рассеивание случайной величины по отношению к математическому ожиданию. Дисперсию случайной величины иначе еще называют центральным моментом второго порядка.

Для непрерывной случайной величины дисперсия равна

который характеризует интенсивность рассеяния в различных совокупностях и применяется для их сравнения.

Площадь, расположенная под кривой распределения f (x) , со-

ответствует единице, это означает, что кривая охватывает все значения случайных величин. Однако таких кривых, которые будут иметь площадь, равную единице, можно построить большое количество, т.е. они могут иметь различное рассеяние. Мерой рассеяния и является дисперсия или среднеквадратичное отклонение (рис. 4.12).

103

Основы научных исследований

0 m(x) x –x 0 x

Рисунок 4.13 – Общий вид кривой нормального распределения:

а) m(x) ¹ 0 ; б) m(x) = 0.

Рассмотрим основные теоретические кривые распределения. Наиболее часто в исследованиях применяют закон нормального распределения (рис. 4.13), уравнение которого при m(x)¹0 имеет вид:

Если совместить ось координат с точкой m, т.е. принять m(x)=0 и

принять σ 2 = 1 , закон нормального распределения будет описываться более простым уравнением:

Для оценки рассеяния обычно пользуются величиной σ . Чем меньше σ, тем меньше рассеяние, т.е. наблюдения мало отличается друг от друга. С увеличением σ рассеяние возрастает, вероятность по-

Методы теоретических исследований

соответствуют точкам перегиба (заштрихованная область на рис. 4.12) кривой распределения.

где х – число событий за данный отрезок времени t;

λ– плотность, т.е. среднее число событий за единицу времени;

λ×t = m – среднее число событий за время t;

Для закона Пуассона дисперсия равна математическому ожиданию числа наступления событий за время t , т.е. σ 2 =m .

Для исследования количественных характеристик некоторых процессов (времени отказов машин и т.д.) применяют показательный закон распределения (рис. 4.15), плотность распределения которого выражается зависимостью

f (x) = λ ×e−λx , (4.63)

где λ – интенсивность (среднее число) событий в единицу времени.

Основы научных исследований

–сбор, обработка и анализ статистических наблюдений;

–отбор главных и отбрасывание второстепенных факторов и составление математической модели;

–составление алгоритмов и решению задач на ЭВМ.

Для решения задач методом Монте-Карло необходимо иметь статистический ряд, знать закон его распределения, среднее значение

x , математическое ожидание m(x) и среднеквадратичное отклонение. Решение эффективно лишь с использованием ЭВМ.

4.6. Методы системного анализа

Системный анализ – это комплекс приемов и методов изучения сложных систем, представляющих собой совокупность взаимодействующих элементов, характеризующихся прямыми и обратными связями. Суть системного анализа и состоит в выявлении этих связей и установлении их влияния на систему в целом. С использованием системного подхода изучается развитие сложных систем, таких как экономика отрасли, шахтостроительного управления и пр. Наиболее полно можно выполнить системный анализ с использованием научных положений кибернетики.

Системный анализ складывается из четырех этапов:

–постановка задачи (определяют объект, цели и задачи исследования);

–установление границ изучаемой системы и определение ее структуры (все объекты и процессы, имеющие отношение к поставленной цели, разбиваются на внешнюю среду и собственно изучаемую систему (замкнутую или открытую), затем выделяются части системы (элементы) и устанавливается взаимодействие между ними и внешней средой;

–составление математической модели системы (описывают выделенные элементы системы и процессы взаимодействия с помощью тех или иных параметров; математический аппарат использует в зависимости от особенностей процессов (непрерывные и дискретные, детерминированные и вероятностные);

109