6.2 Представление статистических данных

Пусть теперь Х – дискретная случайная величина, принимающая значения х₁, х₂, ... , х_N , а х₁, х₂, ... , ,х_n – выборка, т.е. это значения случайной величины, полученные в результате проведения опытов. Будем полагать, что значение x_j наблюдалось n_j раз , причем.

Наблюдаемые значения х₁, х₂, ... , х_n называют вариантами, а таблицу с упорядоченными по возрастанию вариантами и соответствующими относительными частотами () называют вариационным рядом.

ТАБЛИЦА 6.2

Х=хj	x1	x2	x3	…	xj	…	xm
nj	n1	n2	n3	…	nj	…	nm
				…		…

Из определения относительной частоты следует, что .

Если х₁, х₂, ... , х_n – выборка реализаций непрерывной случайной величины Х или п>>1 (объем выборки большой) для дискретной случайной величины, то строится интервальный вариационный ряд. Методика его построения следующая.

1. Определяются максимальное и минимальноезначения выборки.

2. Определяется размах вариационного ряда

.

3. Определяется количество интервалов

.

Если k – не целое, то k округляется в большую сторону до ближайшего целого числа.

4. Определяется оптимальная ширина интервала , позволяющая выявить характерные признаки Х с минимальным количеством интервалов по формуле Стрэджеса:

.

5. Определяются границы интервалов [aj, aj+1) следующим образом:

, (1)

6. Производится распределение вариантов по интервалам таким образом, что вариант относят к интервалу [a_j, a_j+1), если x_j x_j <a_j+1. Затем, распределив варианты по интервалам, подсчитывают их общее число для j – го каждого интервала пj и вычисляют относительные частоты

.

7. Для каждого интервала вычисляют представителя интервала

( ).

ТАБЛИЦА 6.3

Номер интервала	1	2 …	…	i	…	п
Границы интервала [aj, aj+1)	а1, а2	а2, а3	…	aj, аj+1		am, аm+1
Частота попадания в интервал	n1	n2	…	nj		nm
Относительная частота попадания в интервал			…
Представитель интервала			…		…

Графическое представление интервального ряда носит название гистограммы. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы [a_j, a_j+1) и на каждой из них строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте . Из построения следует, что площадь суммы всех прямоугольников равна единице. Очевидно, что если плавно соединить левые точки прямоугольников гистограммы, то полученная кривая будет первым приближением к кривой плотности распределения случайной величины Х.

Если число опытов увеличивать, то полученная гистограмма все более будет приближаться к плотности распределения случайной величины Х.

Для исследования вида закона распределения случайной величины по выборке возникает необходимость в построении статистического аналога функции распределения. Такой статистический аналог функции распределения называется эмпирической (статистической) функцией распределения. Эмпирической функцией распределения F*(x) называется закон изменения частоты события X < x в данном статистическом материале, то есть

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х, надо подсчитать число опытов, в которых случайная величина Х приняла значения меньше, чем х, и разделить на общее число произведенных опытов. Полученная таким образом статистическая функция распределения является очень грубым приближением функции распределения F(x) случайной величины Х и в таком виде не используется на практике. Она носит в каком-то смысле качественный характер, из которого можно выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины Х. При увеличении числа опытов (n ®¥) F*(x) по вероятности сходится к F(x). Однако, с увеличением n построение F*(x) становится очень трудоемкой операцией. Поэтому на практике часто бывает удобно пользоваться статистической характеристикой, которая приближается к плотности распределения. По полученному статистическому материалу (вариационному ряду) можно построить график эмпирической функции распределения. Он имеет вид аналогичной теоретической функции распределения дискретной случайной величины – вид функцией скачков.