2.2. Операции над событиями

Рассмотрим операции над событиями

Определение 2.6.Суммойилиобъединениемдвух событийAиBназывают событиеA+B(илиAB), состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих, по крайней мере, одному из событийAилиB:

A+B=AилиB.

Определение 2.7.Произведениемилипересечениемдвух событийAиBназывают событиеAB(илиAB), состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих иAиB:

AB=AиB.

Определение 2.8.Разностьюдвух событийAиBназывают событиеA\B, состоящее из тех элементарных событий, которые принадлежат событиюA, но не входят в событиеB:

A\B=AиB.

Определение 2.9.Событиеназываютпротивоположным к событиюA, если оно состоит из тех элементарных событий, которые не входят в событиеA:

.

Понятия произведения и суммы событий переносится на бесконечные последовательности событий. Событие состоит из элементарных событий, принадлежащих одному из событийA_n,n=1, 2, … . Событиесостоит из элементарных событий, принадлежащих каждому событиюA_n,n=1, 2, … .

Укажем основные свойства и законы, которыми обладают операции над событиями:

1. A+B=B+A(коммутативность сложения)

AB=BA(коммутативность умножения)

2. A+(B+C)=(A+B)+C(ассоциативность сложения)

A(BC)=(AB)C(ассоциативность умножения)

3. A(B+C)=AB+AC(закон дистрибутивности)

4. AA=A A+A=A 6.

5. A+= A+=A 7.

A=A A= 8.

Эти свойства и законы мы примем без доказательства.

Определение 2.10.СобытияAиBназываютсянесовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании, т.е.

AB=.

Пример 2.3.Рассмотрим подбрасывание один раз игрального кубика. Тогда событиеA– «выпадение четного числа» и событиеB– «выпадение нечетного числа» будут несовместными. А событиеA– «выпадение четного числа» и событияC– «выпадения числа, кратного трем» будут совместными.



Пример 2.4.По мишени производится три выстрела тремя стрелками. Пусть события:A_i– «попадание в мишеньi-ым стрелком». Выразить черезA₁,A₂,A₃следующие события:

а) B– «все три попадания»;

б) C– «только одно попадание»;

Решение.а) СобытиеBсостоит в одновременном выполнении всех трех событийA₁,A₂,A₃, т.е. совместных событий. ТогдаB=A₁A₂A₃.

б) Событие Cозначает, что 1-й стрелок попал, 2-й и 3-й не попали в мишень или 2-й попал, а 1-й и 3-й не попали, или 3-й попал, а 1-й и 2-й не попали. Тогда событиеCможно представить в виде суммы произведений событий. Все три слагаемых – это попарно несовместные события.



Пример 2.5.Три студента сдают зачет. Пусть события:A_i– «i-ый студент сдает зачет с первого раза». Выразить черезA₁,A₂,A₃следующие события:

а) B– «все три студента не сдают зачет с первого раза»;

б) D– «только два студента сдают зачет с первого раза»;

Решение.а) СобытиеBсостоит в одновременном выполнении всех трех событий, т.е. совместных событий, и которые являются противоположными для событийA₁,A₂,A₃. Тогда.

б) Событие Dозначает, что 1-й и 2-й студенты сдали с первого раза зачет, а 3-й не сдал или 2-й и 3-й студенты сдали с первого раза зачет, а 1-й не сдал, или 3-й и 1-й студенты сдали с первого раза зачет, а 2-й нет. Тогда событиеDможно представить в виде суммы произведений событий. Все три слагаемых – это попарно несовместные события.

