3. Законы распределения нсв

Рассмотрим часто встречающиеся законы распределения НСВ: равномерный, показательный и нормальный.

2.3.1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина , которая принимает значения только на отрезкеa;bс постоянной плотностью распределения, называется распределенной поравномерному закону.

Таким образом, плотность распределения имеет вид:

.

График дифференциальной функции равномерного закона НСВ Xимеет вид:

Интегральная функция распределения НСВ X, которая распределена по равномерному закону, имеет вид:

.

График интегральной функции равномерного закона НСВ Xимеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия равномерной СВ:

.

Применение: Надо отметить, что равномерный закон распределения применяется при работе с округленными числами, измерение каких-либо величин по шкале измерительного прибора.

Пример 2.5.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Определить закон распределения ошибки округления. Найти среднеквадратическую ошибку округления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка менее 0,04.

Решение.Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину, которая имеет равномерное распределение в промежутке между соседними делениями. Длинадлина промежутка, в котором заключены все возможные значения случайной величины. Плотность распределения вероятностей данной случайной величиныимеет следующий вид:

.

Сначала найдем дисперсию равномерной СВ :

.

Используем формулу (2.11) и находим среднеквадратическую ошибку округления.

.

Ошибка отсчета будет менее 0,04, если случайная величина заключена в интервале или. Для нахождения вероятности событиязаключающегося в том, что при отсчете будет сделана ошибка менее 0,04, воспользуемся формулой (2.5):



2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина X, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения,

называется распределенной по показательному закону с параметром , где>0.

График дифференциальной функции показательного закона НСВ Xимеет вид:

Интегральная функция распределения НСВ, распределенной по показательному закону, имеет вид:

График интегральной функции показательного закона НСВ Xимеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной СВ X:

.

Применение: Надо отметить, что показательный закон распределения применяется в теории массового обслуживания; время ремонта, время простоя в очереди, время обслуживания.

Пример 2.6.Технический осмотр и обслуживание машин продолжается в среднем 2 часа. Составить закон распределения, если СВXвремя техосмотра машины, которое распределено по показательному закону. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что машина пройдет техосмотр менее чем за 1 час.

Решение.Среднее время техосмотра равно 2 часа, а этоматематическое ожидание. Значит, параметр. Плотность распределения вероятностей СВXимеет следующий вид:

.

Интегральная функция распределения СВ Xимеет следующий вид:

.

Для показательного закона распределения , а. Следовательно.

Чтобы найти вероятность того, что машина пройдет техосмотр менее чем на 1 час, воспользуемся формулой (2.1):

.