2. Непрерывные одномерные

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Интегральная и дифференциальная функции распределения нсв

Дискретная СВ задается перечнем всех своих возможных значений и их вероятностей. Такой закон распределения ДСВ чаще всего бывает представлен в виде таблицы. Но этот способ не является общим. Он не применим, например, для непрерывной случайной величины, возможные значения которой заполняют некоторый промежуток.

Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ вводят интегральную функцию распределения.

Определение 2.1.Интегральной функцией распределенияназывают функцию, определяющую для каждого значениявероятность того, что случайная величинапримет значение, меньшее, т.е.

. (2.1)

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Определение 2.2.Случайная величина называетсянепрерывной, если ее интегральная функция распределениянепрерывно дифференцируемая.

Рассмотрим свойства интегральной функции распределения непрерывной СВ, которые примем без доказательства.

Свойства интегральной функции нсв

Свойство 1.Значения интегральной функции принадлежит отрезку0; 1, т.е.

.

Свойство 2.– неубывающая функция, т.е.

.

Свойство 3.Функция распределения непрерывна слева, т.е.

.

Свойство 4.Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Из свойства 2 вытекают два следствия, которые примем без доказательства.

Следствие 2.1.Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале, равна приращению интегральной функции на этом интервале:

. (2.2)

Следствие 2.2.Вероятность того, что непрерывная случайная величинаXпримет одно определенное значение, равно нулю, т.е.

.

Выше дали определение непрерывной случайной величины, как случайной величины, функция распределения которой непрерывно дифференцируемая. В этом случае имеет производную, которую обозначим через, т.е.. Выясним вероятностный смысл функции. Возьмем какой-нибудь полуинтервал. Вероятность попадания значенияна этот полуинтервал, т.е., равна(следствие 2.1.):

.

Если правую и левую части этого равенства разделить на длину полуинтервала , получим

.

Левая часть – это отношение вероятности попадания значения случайной величины Xна полуинтервал к длине этого полуинтервала, которое называютсредней плотностью распределения вероятностейна полуинтервале. Если перейти к пределу при, получим

.

Предел средней плотности равен , и его называютплотностью распределения (дифференциальной функцией распределения)случайной величиныX.

Определение 2.3.Дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения)называют первую производную от интегральной функции:

. (2.3)

Рассмотрим свойства дифференциальной функции распределения непрерывной случайной величины, которые примем без доказательства.