1.3. Законы распределения дсв

Рассмотрим некоторые законы распределения дискретной СВ.

1. Биномиальное распределение

Пусть имеется испытаний Бернулли с вероятностью успехаи неуспеха,. Дискретная СВX– число успехов имеет распределение

Это распределение называется биномиальным с параметрами p и q.

Математическое ожидание и дисперсия СВ X:

,.

2. Геометрическое распределение

Дискретная СВ Xимеетгеометрическое распределение, если она принимает значения(счетное множество значений) с вероятностью

где ,

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число Бернулли до первого успеха.

Математическое ожидание и дисперсия :

.

3. Гипергеометрическое распределение

Дискретная СВ Xимеетгипергеометрическое распределение, если она принимает значенияс вероятностями

где ; . Вероятностьявляется вероятностью выбораобъектов, обладающих заданным свойством, из множестваnобъектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупностиобъектов, среди которыхобъектов обладают заданным свойством.

Математическое ожидание и дисперсия СВ, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами ,,:

.

4. Закон Пуассона

Говорят, что СВ Xраспределена по закону Пуассона,если она принимает целые значения 0, 1, 2, … с вероятностями

где – параметр распределения,,- число появления событиявнезависимых испытаниях.

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской СВ равны параметру распределения:

.

Закону распределения Пуассона обычно подчинена СВ, задающая простейший поток событий (число вызовов скорой помощи, число вызовов на АТС, число заказов на предприятии бытовых услуг, и т.д.) Если интенсивность потока выражает число появлений события за единицу времени, то вероятность наступлениясобытий за времяопределяетсяформулой Пуассона .

Пример 1.5.Из 25 подписчиков на газеты 16 человек подписались на местные газеты, остальные – на республиканские. Наудачу выбрали 3 подписчиков. СВX– количество подписчиков на местные газеты среди выбранных.

Записать закон распределения СВ X. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти.

Решение.1) Среди трех отобранных подписчиков количество человек, подписавшиеся на местные газеты может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Значит, СВXимеет значения. Данная СВXраспределена по гипергеометрическому закону. Поэтому вероятности появления каждой СВXнаходим по формуле:

.

;;

;.

Для контроля

+0,46957+0,24348=1.

Записываем закон распределения ДСВ Xв виде таблицы:

X	0	1	2	3
p	0,03652	0,25043	0,46957	0,24348

2) Данные значения СВ Xразбивают числовую прямую на пять промежутков.

Если , то;

Если , то;

Если , то;

Если , то

+0,46957=0,75652;

Если , то

+0,25043+0,46957+0,24348=1.

Таким образом, получаем следующую функцию распределения

.

Строим график функции распределения:

3) Находим математическое ожидание СВ X:

.

Найдем дисперсию:

=0,63363≈0,634

Найдем среднее квадратическое отклонение:

.

;

.