Правило проверки нулевой гипотезы

Для того чтобы, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу : генеральная совокупность распределена нормально, надо:

1. находят значения величин , гдеграница частичного интервала,выборочная средняя,исправленное среднее квадратическое отклонение.

Причем наименьшее значение , т.е.(или), а наибольшее();

2. вычисляют теоретические вероятности попаданияв интервалпо формуле

, гдефункция Лапласа;

3. находят теоретические частоты по формуле , гдеобъем выборки. Если на каком-то интервале получаются теоретические частоты меньшие 5, то этот интервал объединяется с соседним;

4. вычисляют наблюдаемое значение критерия по формуле

,

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости

, и числу степеней свободы, находят критическую точку.

Если нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1.Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5 – 8 вариант, малочисленные группы следует объединить в одну, суммируя частоты.

Замечание2.Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности, если согласование теоретических и эмпирических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, воспользоваться другими критериями, построить график распределения, вычислить асимметрию и эксцесс.

Пример 3.1. По результатам измерений, которые даны впримере 1.1.найти:

4) по геометрическим характеристикам и по соотношениям между числовыми характеристиками выдвинуть гипотезу о законе распределения признака X;

5) проверить гипотезу о законе распределения признака Xпо критерию-квадрат при уровне значимости 0,05.

Решение.4) Так как гистограмма имеет максимум в середине таблицы с убыванием в стороны, то выдвигаем гипотезуH₀.

H₀: исследуемый признакXраспределен по нормальному закону.

Конкурирующая гипотеза H₁: исследуемый признакXраспределен по закону, который не является нормальным законом.

В процессе обработки результатов получили, что .

Оцениваем параметры выбранного закона распределения.

Математическое ожидание .

Находим исправленное среднее квадратическое отклонение:

5) Для проверки гипотезы о законе распределения признака Xпо критерию²-квадрат при уровне ошибки=0,05 необходимо найти теоретические вероятностиP_iпопадания случайной величиныXв интервал_iпо формуле

, где(x)-функция Лапласа.

Для удобства вычислений составим таблицу.

i	xi			i	ni	Pi	nPi
1	7,8	-5	-0,5	(7,8; 9,88)	1	0,0505	2,525
2	9,88	-1,64	-0,4495	(9,88; 11,96)	11	0,1336	6,68
3	11,96	-0,90	-0,3159	(11,96; 14,04)	10	0,2523	12,615
4	14,04	-0,16	-0,0636	(14,04; 16,12)	12	0,2826	14,13
5	16,12	0,58	0,2190	(16,12; 18,2)	11	0,1859	9,295
6	18,2	1,31	0,4049	(18,2; 20,3)	5	0,0951	4,755
7	20,3	5	0,5				

nP_i– теоретические частоты.

Мы видим, что в первой и шестой строках теоретические частоты nP₁<5 иnP₆<5. Значит, первую строку объединяем со второй, а шестую с пятой строкой. В результате получим новую таблицу.

i	nPi	ni
1	9,205	12	0,8487
2	12,615	10	0,5421
3	14,13	12	0,3211
4	14,05	16	0,2706
			=1,9825

Итак, t=1,9825.

Степени свободы определяем по формуле:

, гдеm– число интервалов

r– число параметров теоретического распределения.

В нашем случае: .

По таблице значений - критерия Пирсона приk=1 и=0,05 определяем²_кр=3,8.

Так как t=1,9825<²_кр, то нет оснований отвергнуть гипотезуH₀.

