2. Критическая область. Область принятия гипотез. Критические точки

Для проверки нулевой гипотезы используют статистический критерий специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

Эту величину обозначают через или, если она распределена нормально,по закону ФишераСнедекора,по закону Стьюдента,по закону «хи квадрат» и т.д.

После выбора определенного критерия, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Определение 3.5.Критической областьюназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Определение 3.6.Областью принятия гипотезы(областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистической гипотезыможно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Поскольку критерий одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Определение 3.7.Критическими точками(границами)называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правостороннейназывают критическую область, определяемую неравенством, гдеположительное число (рис. 1).

Левостороннейназывают критическую область, определяемую неравенством, гдеотрицательное число (рис. 2).

Двустороннейназывают критическую область, определяемую неравенствами,, где.

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что ):

,,

или равносильным неравенством .

3. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Определение 3.8.Критерием согласияназывают критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К.Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Ограничимся описанием применений критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его достоинство). С этой целью сравнивают эмпирические(наблюдаемые) итеоретические(вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Например,

.

Случайно ли расхождение частот? Возможно, что расхождение случайно (незначимо) и объясняется малым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает, на принятом уровне значимости, ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Пусть по выборке объема получено эмпирическое распределение. Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности, вычислены теоретические частоты:

.

При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы применяют случайную величину

. (*)

Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (*) и, следовательно, она в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей. Делением на достигают уменьшения каждого из слагаемых; в противном случае сумма была бы настолько велика, что приводила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда, когда она справедлива. Разумеется, приведенные соображения не являются обоснованием выбранного критерия, а лишь пояснением.

Доказано, что при закон распределения случайной величины (*), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределениясстепенями свободы. Поэтому случайная величина (*) обозначена через, а сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат».

Число степеней свободы находят по равенству:

,

где число групп (частичных интервалов) выборки;

 число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение). Поэтому , число степеней свободы.

Если, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр . Поэтому, число степеней свободы.

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости :

.

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством

,

а область принятия нулевой гипотезы – неравенством

.

Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.