Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном 

Пусть количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонениенеизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожиданиеaпри помощи доверительных интервалов.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через t),

,

которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы; здесь– выборочная средняя,S– исправленное среднее квадратическое отклонение,n– объем выборки.

Распределение Стьюдента определяется параметром n– объемом выборки (или, числом степеней свободы) и не зависит от неизвестных параметровaи. Вероятность осуществления неравенстваопределяется так

.

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим

.

Итак, используя распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметрaс надежностью. Здесь случайные величиныиSзаменены неслучайными величинамииs, найденными по выборке. По таблице, по заданнымnиможно найти.

Следует отметить, что при неограниченном возрастании объема выборки nраспределение Стьюдента стремиться к нормальному. Поэтому приn>30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.

Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (n<30), в особенности для малых значенийn, замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно – к неопределенному сужению доверительного интервала, т.е. к повышению точности оценки.

То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется, содержит малую информацию об интересующем нас признаке.

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения

Пусть количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонениепо исправленному выборочному среднему квадратическому отклонениюs. Поставим перед собой задачу найти доверительный интервал, покрывающий параметрс заданной надежностью.

Потребуем, чтобы выполнялось неравенство

,

или

.

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство

в равносильное неравенство

.

Положив , получим

. (*)

По заданным nииспользуется таблица для нахожденияq.

Итак, вычислив по выборке sи определив по таблицеq, получим искомый доверительный интервал , при, покрывающийс заданной надежностью.

Выше предполагалось, что . Если, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что>0)

.

В этом случае для отыскания qпри заданныхnииспользуют ту же таблицу.

Пример 2.2. По результатам измерений, которые даны впримере 1.1.найти 95%-ые доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Решение. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении нормально распределенной случайной величиныXопределяется по следующей формуле:

,

где выборочное среднее;

 исправленное среднее квадратическое отклонение;

n– объем выборки;

t_число, которое определяется по таблице значенийt_=t(,n) при заданной надежности и объеме выборкиn

При =0,95 иn=50 определяемt_=2,009.

;

.

Доверительный интервал с заданной надежностью для среднего квадратического отклонениянормально распределенного признакаXпо исправленному среднему квадратическому отклонениюопределяется по формуле:

приq<1

При =0,95 иn=50 определяемq=0,21.

;

.

