Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном 

Пусть количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонениеэтого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожиданиеaпо выборочной средней. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметрaс надежностью.

Будем рассматривать выборочную среднюю , как случайную величину(изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака, как одинаково распределенные независимые случайные величины(эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равноaи среднее квадратическое отклонение.

Примем без доказательства, что если случайная величина Xраспределена нормально, то выборочная средняя, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределениятаковы

.

Величина называется средней ошибкой выборки, объем которой равенn. Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

,

где - заданная надежность.

Воспользуемся формулой

,

заменив Xнаина , получим

где .

Из последнего равенства находим . Далее можно написать так

.

Приняв во внимание, что вероятность Pзадана и равна, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу выборочную среднюю вновь обозначим через):

.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервалпокрывает неизвестный параметрa; точность оценки.

Итак, поставленная выше задача полностью решена.

Укажем еще, что число tопределяется из равенства, или; по таблице функции Лапласа находим аргументt, которому соответствует значение функции Лапласа, равное.

Замечание.Оценкуназывают классической. Из формулы, определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

1) при возрастании объема выборки nчислоубывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;

2) увеличение надежности оценки приводит к увеличениюt((t) – возрастающая функция), а, следовательно, и к возрастанию; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример 2.1.Случайная величинаXимеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением=3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожиданияaпо выборочному среднему=4,1, если объем выборкиn=36 и задана надежность оценки=0,95.

Решение.Найдемt. Из соотношенияполучаем. По таблице находимt=1,96.

Найдем точность оценки:

.

Доверительные интервалы таковы:

или

.

Итак,



Подчеркнем, что было бы ошибочно писать: . Действительно, так какa– постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событиедостоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событиеневозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которое, как уже было указано, изменяется от выборки к выборке.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность =0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.