2. Точечные и интервальные оценки

Выше были рассмотрены статистические оценки неизвестных параметров, которые определялись одним числом. Такие оценки получили название точечных.

Определение 2.1. Точечной называют оценку, которая определяетсяодним числом.

К ней относятся характеристики выборочной совокупности (выборочная средняя , выборочная дисперсия , выборочное среднее квадратическое отклонение , а также мода, медиана и др.), являющиеся точечными оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Ранее показали, что выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой. Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию, которая находится по следующей формуле:

.

При выборке малого объема точечная оценка отличается от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует использовать интервальные оценки.

Определение 2.2. Интервальной называют оценку, которая определяетсядвумя числами– концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки, статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра. Будем считатьпостоянным числом (может быть и случайной величиной). Ясно, чтотем точнее определяет параметр, чем меньше абсолютная величина разности. Другими словами, еслии, то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное числохарактеризуетточность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству; можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Определение 2.3. Надежностью (доверительной вероятностью)оценкипоназывают вероятность, с которой осуществляется неравенство.

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что равна:

.

Если неравенство заменить равносильным ему двойным неравенством, или

,

Имеем

.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр, равна.

Определение 2.4. Доверительнымназывают интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

Интервал имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т.е. доверительные границы сами являются случайными величинами – функциями от. Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попаданияв доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет.

Метод доверительных интервалов разработан американским статистиком Ю.Нейманом, исходя из идей английского статистика Р.Фишера.

Мы рассмотрим доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном; доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения.