7.6. Первый (обобщенный) закон Кеплера

Законы Кеплера были получены им эмпирически в результате исследования видимых движений планет. Поэтому первый закон Кеплера в формулировке, данной в 5.4, справедлив лишь в отношении больших планет и тех тел Солнечной системы (некоторых комет, астероидов), которые движутся вокруг Солнца по замкнутым орбитам.

Если же иметь в виду движения небесных тел вообще, то на основании предыдущего параграфа этот закон надо сформулировать в следующем виде: под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений — кругу, эллипсу, параболе или гиперболе.

7.7. Второй закон Кеплера

Возьмем прямоугольную систему координат, начало которой находится в центре притяжения, а плоскость ху совпадает с плоскостью орбиты тела.

Проектируя ускорение и силу на координатные оси х и у (рис. 31), напишем основное уравнение динамики (2.14) в следующем виде:

Умножая эти уравнения соответственно на у и х и вычитая первое из второго, получим

или

Поскольку сила центральная, то имеет место соотношение

Поэтому

или

(2.21)

В полярных координатах

х = r cos q, у = r sin q,

где r — расстояние точки от начала координат (радиус-вектор точки), а q — полярный угол (истинная аномалия).

Если перейти от прямоугольной системы координат к полярным координатам, то выражение (2.21) будет иметь вид

(2.22)

т.e. площадь, описанная радиусом-вектором за единицу времени, есть величина постоянная. Это есть математическое выражение второго закона Кеплера.

7.8. Третий (уточненный) закон Кеплера

При круговом движении ускорение

Если рассматривать относительное движение по кругу небесного тела с массой mвокруг центрального тела с массой M, то согласно уравнению (2.17) относительное ускорение

Так как w и w_оm— одно и то же ускорение, то, приравняв их правые части, получим

(2.23)

Если рассматривать движение небесного тела по эллипсу, то получится соотношение, аналогичное (2.23), только в нем радиус круга r заменится на большую полуось , а T будет означать период обращения тела по эллипсу. Напишем это соотношение для двух тел, массы которыхm₁иm₂, большие полуоси их эллиптических орбит а₁и a₂, а периоды их обращений вокруг их центральных тел с массами М₁и М₂обозначим через T₁и T₂. Тогда

откуда

(2.24)

Это точное выражение третьего закона Кеплера. Если рассматривать движение двух планет вокруг Солнца, т.e. вокруг одного и того же тела (М₁= М₂), и пренебречь массами планет (m₁= m₂= 0) в сравнении с массой Солнца, то получим формулу (2.7), выведенную Кеплером из наблюдений:

Так как массы планет в сравнении с массой Солнца незначительны, то формула Кеплера достаточно хорошо согласуется с наблюдениями.

7.9. Понятие о возмущенном движении

Если бы какое-нибудь тело Солнечной системы притягивалось только Солнцем, то оно двигалось бы вокруг Солнца точно по законам Кеплера. Такое движение, соответствующее решению задачи двух тел, называют невозмущенным. В действительности же все тела Солнечной системы притягиваются не только Солнцем, но и друг другом. Поэтому ни одно тело в Солнечной системе не может точно двигаться по эллипсу, параболе, гиперболе и тем более по кругу. Отклонения в движениях тел от законов Кеплера называются возмущениями, а реальное движение тел — возмущенным движением. Возмущения тел Солнечной системы имеют очень сложный характер, и их учет чрезвычайно труден, хотя они сравнительно и невелики, так как массы этих тел по сравнению с массой Солнца очень малы (общая их масса меньше массы Солнца). Возмущения можно рассматривать как различие между положениями светила при возмущенном и невозмущенном движениях, а возмущенное движение тела представлять как движение по законам Кеплера с переменными элементами его орбиты.

Изменения элементов орбиты тела вследствие притяжения его другими телами, помимо центрального, называются возмущениями, или неравенствами элементов. Возмущенияэлементов делятся навековые и периодические.

Пусть имеются три небесных тела: Солнце С с массой М, планета P₁с массой m₁на расстоянии r₁от центра Солнца и планета Р₂с массой m₂на расстоянии r₂от центра Солнца и на расстоянии r от планеты Р₁(рис. 32). Все три тела действуют друг на друга по закону всемирного тяготения Ньютона.

Солнце получает ускорение

по направлению СР₁от планеты P₁и ускорение

по направлению СР₂от планеты Р₂.

Рассмотрим движение планеты P₁относительно Солнца. В этом случае на планету P₁будут действовать силы, вызывающие следующие ускорения:

по направлению P₁C,

по направлению Р₁Р₂,

и

по направлению, параллельному Р₂С .

Первое ускорение w есть ускорение относительного движения, вызванное притяжением Солнца; оно обусловливает движение планеты P₁вокруг Солнца но законам Кеплера.

Ускорения w' и w" составляют ускорение возмущающей силы и обусловливают отклонения в движении планеты P₁от законов Кеплера. Возмущающая сила, следовательно, состоит из двух сил: из силы действия планеты P₂на планету P₁и из силы действия планеты Р₂на Солнце. Так как ускорение w" откладывается в сторону, противоположную w₂, то возмущающая сила есть геометрическая разность действий возмущающего тела на планету и на Солнце. Как видно из рис. 32, возмущающая сила (возмущающее ускорение) в общем случае не направлена к возмущающему телу, т.е. к планете Р₂. Возмущающая сила будет направлена точно к возмущающему телу Р₂только в том случае, если тела P₁и P₂находятся на одной прямой с Солнцем и притом оба по одну сторону от него (в порядке CP₁P₂или CP₂P₁). Если же тела P₁и Р₂находятся на одной прямой (P₁CP₂) с Солнцем, но по разные стороны от него, то возмущающая сила направлена от возмущающего тела. Величина и направление возмущающей силы вследствие движения тел непрерывно меняются.