7.3. Синодические и сидерические периоды обращения планет

Синодическим периодом обращения(S) планеты называется промежуток времени между ее двумя последовательными одноименными конфигурациями.

Сидерическим или звездным периодом обращения(Т) планеты называется промежуток времени, в течение которого планета совершает один полный оборот вокруг Солнца по своей орбите.

Сидерический период обращения Земли называется звездным годом (Т_☺). Между этими тремя периодами можно установить простую математическую зависимость из следующих рассуждений. Угловое перемещение по орбите за сутки у планеты равно, а у Земли. Разность суточных угловых перемещений планеты и Земли (или Земли и планеты) есть видимое смещение планеты за сутки, т.е.. Отсюда для нижних планет

(2.1)

для верхних планет

(2.2)

Эти равенства называются уравнениями синодического движения.

Непосредственно из наблюдений могут быть определены только синодические периоды обращений планет S и сидерический период обращения Земли, т.е. звездный год Т_☺. Сидерические же периоды обращений планет Т вычисляются по соответствующему уравнению синодического движения.

Продолжительность звездного года равна 365,26... средних солнечных суток.

7.4. Законы Кеплера

Кеплер был сторонником учения Коперника и поставил перед собой задачу усовершенствовать его систему по наблюдениям Марса, которые на протяжении двадцати лет производил датский астроном Тихо Браге (1546-1601) и в течение нескольких лет — сам Кеплер.

Вначале Кеплер разделял традиционное убеждение, что небесные тела могут двигаться только по кругам, и поэтому он потратил много времени на то, чтобы подобрать для Марса круговую орбиту.

После многолетних и очень трудоемких вычислений, отказавшись от общего заблуждения о кругообразности движений, Кеплер открыл три закона планетных движений, которые в настоящее время формулируются следующим образом:

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых (общем для всех планет) находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

3. Квадраты сидерических периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Как известно, у эллипса сумма расстояний от какой-либо его точки до двух неподвижных точек f₁и f₂, лежащих на его оси АП и называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси АП (рис. 27). Расстояние ПО (или ОA), где О — центр эллипса, называется большой полуосью, а отношение— эксцентриситетом эллипса. Последний характеризует отклонение эллипса от окружности, у которой е = 0.

Орбиты планет мало отличаются от окружностей, т.е. их эксцентриситеты невелики. Наименьший эксцентриситет имеет орбита Венеры (е = 0,007), наибольший — орбита Плутона (е = 0,247). Эксцентриситет земной орбиты е = 0,017.

Согласно первому закону Кеплера Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты планеты. Пусть на рис. 27,а это будет фокус f₁(С — Солнце). Тогда наиболее близкая к Солнцу точка орбиты П называетсяперигелием, а наиболее удаленная от Солнца точка A —афелием. Большая ось орбиты АП называетсялинией апсид, а линия f₂P, соединяющая Солнце и планету Р на ее орбите, —радиусом-вектором планеты.

Расстояние планеты от Солнца в перигелии

q = а (1 — е), (2.3)

в афелии

Q = a (l + e). (2.4)

За среднее расстояние планеты от Солнца принимается большая полуось орбиты

Согласно второму закону Кеплера площадь СР₁Р₂, описанная радиусом-вектором планеты за времяt вблизи перигелия, равна площади СР₃Р₄, описанной им за то же времяt вблизи афелия (рис. 27, б). Так как дуга Р₁Р₂больше дуги Р₃Р₄, то, следовательно, планета вблизи перигелия имеет скорость большую, чем вблизи афелия. Иными словами, ее движение вокруг Солнца неравномерно.

Скорость движения планеты в перигелии

(2.5)

в афелии

(2.6)

где v_c— средняя или круговая скорость планеты при r = а. Круговая скорость Земли равна 29,78 км/сек = 29,8 км/сек.

Третий закон Кеплера записывается так:

(2.7)

где Т₁и T₂— сидерические периоды обращений планет, а₁и a₂— большие полуоси их орбит.

Если большие полуоси орбит планет выражать в единицах среднего расстояния Земли от Солнца (в астрономических единицах), а периоды обращений планет — в годах, то для Земли а =1 и Т = 1 и период обращения вокруг Солнца любой планеты

(2.8)