MATH-krat-teor / Математика-методы решений / Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения

тригонометрических уравнений.

1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

или

или решений нет

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда

или

Т.к.

при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

или

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

Пусть , тогда

или

Т.к.

при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа. - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к. и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если и (то есть хотя бы одно из чисел или не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к. и , то существует такой угол , что , тогда

а) если, т. е. , то корней нет.

в) если, т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

или

(3)

Разделим на , получим

Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

1. применение формулы .

2. через .

3. привести к однородному уравнению второй степени.

4. способ введения вспомогательного аргумента.

5. с помощью неравенства , при .

6. метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

или

Разделим на , получим

Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

или

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

и то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: