14-es_1 / ЭС - Информатика (ИСФ) / умк_Спиридонов_Информатика_ч.1_2013

Вычисляем дисперсию:

8.10.8. Аппроксимация функцией произвольного вида

Теперь построим аппроксимирующую функцию дробно-рациональ-

имеет следующие параметры:

-x, y – векторы, содержащие координаты заданных точек;

-F – функция, задающая искомую функциональную n- параметрическую зависимость и частные производные этой зависимости по параметрам;

-v – вектор, задающий начальные приближения для поиска пара-

метров.

Поскольку нулевой элемент функции F содержит искомую функцию, определяем функцию следующим образом (рис. 8.19): f 5(z) := F (z, S )0 .

Вычисляем среднее квадратичное отклонение:

Функция genfit имеется не во всех реализациях Mathcad. Возможно, однако, решить задачу, проведя линеаризацию.

Заданная функциональная зависимость может быть линеаризована

223

Зависимость результата от заданной точности вычислений:

Для этого примера результат может быть получен также в символь- ном виде. Для этого вместо знака равенства необходимо нажать знак сим- волического равенства Ctrl+

В то же время в некоторых случаях несобственные интегралы вы- числяются неправильно:

8.12.Решение дифференциальных уравнений

8.12.1.Обыкновенные дифференциальные уравнения

Пусть необходимо найти решение уравнения y′ = f (x, y) с началь- ным условием y(x0 ) = y0 . Такая задача называется задачей Коши. Разло- жим искомую функцию y(x) в ряд вблизи точки x0 и ограничимся первы-

формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках:

yi +1 = yi + f (xi , yi )h .

Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера. Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрез- ком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, т.е. его точность растет линейно с уменьшением

226

шага h. Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяю- щие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение произ- водной на данном интервале.

Оценку значения производной можно улучшить, увеличивая число вспомогательных шагов. На практике наиболее распространенным мето- дом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является ме- тод Рунге – Кутты четвертого порядка. Для оценки значения производ- ной в этом методе используется четыре вспомогательных шага. Формулы метода Рунге – Кутты следующие:

yi +1 = yi + yi .

Перечисленные методы можно применять и для решения систем дифференциальных уравнений. Поскольку многие дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены заменой переменных к системе дифференциальных уравнений первого порядка, рассмотренные методы могут быть использованы и для решения дифференциальных урав- нений выше первого порядка.

му. Для решения краевой задачи обычно применяют метод стрельб. Пусть y′(0) = k, где k – некоторый параметр. Для некоторого пробного зна- чения k может быть решена задача Коши, например, методом Рунге – Кут- ты. Полученное решение будет зависеть от значения параметра y = y(x;k ) .

227

8.12.2. Метод Эйлера для дифференциальных уравнений первого порядка

Решим задачу Коши для дифференциального уравнения первого по- рядка y′ = f (x, y) методом Эйлера.

Пусть правая часть уравнения равна f (x, y) º x × y . Зададим границы изменения x: xmin ≡ 0 xmax ≡ 1.

Зададим число точек и величину шага: n ≡ 10 h = (xmax − xmin ) . n

Зададим начальные условия: y0 º1 x0 º xmin .

Вычислим x и y по формулам Эйлера j ≡ 1..n , x j º xmin + j × h , y j º y j −1 + f (x j −1, y j −1 ) × h .

Представим результат графически (рис. 8.21) и сравним его с анали-

y1(z)

1.5

y k

y1(1)

228

8.12.3. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутты

Функция rkfixed(y, x1, x2, n, F) возвращает матрицу решений мето- дом Рунге – Кутты дифференциального уравнения, правая часть которого записана в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксиро-

8.12.4. Решение систем дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений Mathcad имеет ряд встроенных функций, в частности, функцию rkfixed, реализующую метод Рунге – Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных урав- нений первого порядка:

Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а ос- тальные столбцы – решения и его первые n − 1 производные.

229

Аргументы функции:

-y – вектор начальных значений (n элементов).

-x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение диффе- ренциального уравнения.

-npoints – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1 + npoints строк.

-D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.

В качестве примера рассмотрим решение системы Вольтерра – Лот- ки. Эта система описывает динамику численности хищников и жертв на замкнутом ареале и является одной из базовых моделей экологии.

dN1 = N1 (e1 - g2 N2 ),

dt

dN2 = N2 (e2 - g1N1 ).

dt

Для решения систем дифференциальных уравнений используются функция rkfixed.

Внимание! В этом примере установлено значение ORIGIN = 1, т.е. нумерация элементов массива начинается с 1, а не с 0, как это принято в Mathcad по умолчанию.

Пусть в начальный момент времени число хищников N1 = 5 и число жертв N2 = 10 .

тей системы. (Поскольку исходная система не зависит явно от времени t, функция D также не зависит от времени явно хотя и содержит его в числе своих аргументов.)

= N1 × (ε1 - γ2 × N2 )

D(t, N ) : -N2 × (ε2 - γ1 × N1) .

230