умк_Вабищевич_Физика_ч

2.4. Примеры решения задач

Силы. Законы Ньютона

Пример 1.

У бруска одна сторона гладкая, а другая шероховатая. Если его положить на наклонную плоскость шероховатой стороной, он будет находиться в равновесии на грани соскальзывания. С каким ускорением брусок будет соскальзывать, если его перевернуть? Коэффициент трения между шероховатой стороной бруска и поверхностью наклонной плоскости равен µ = 0,2

(уровень 2).

Решение. Рассмотрим равновесие бруска на наклонной плоскости, когда он лежит на ней шероховатой стороной.

На брусок действуют три силы: сила тяжести mg (где m – масса бруска), сила

реакции поверхности плоскости и сила трения покоя Fтр.пок , препятствующая

соскальзыванию бруска (рис. 2.8). Направим ось ОХ системы коорди-

нат вдоль наклонной плоскости и запишем уравнение, выражающее второй закон Ньютона

где α – угол, который наклонная плоскость образует с горизонтом. Учитывая, что тело находится в равновесии на грани соскальзывания

aG = 0 , Fтр = µN , из (1) и (2) находим

Полученный результат позволяет сделать полезный вывод: если коэффициент трения между телом и поверхностью наклонной плоскости µ > tgα, то тело будет находиться в равновесии, и самопроизвольно не будет

52

соскальзывать с плоскости; если µ = tgα, то тело будет находиться в равновесии на грани соскальзывания; если µ < tgα, то тело будет соскальзывать

с плоскости.

Рассмотрим движение бруска с наклонной плоскости, когда он лежит на ней гладкой стороной (µ = 0). Теперь на брусок действуют две силы: сила тяжести и сила реакции. Легко понять, что уравнения движения бруска в проекциях на оси системы координат совпадут с уравнениями (1) – (2) при Fтр. = 0. Поскольку в выбранной системе координат перемещение по y

отсутствует, то для описания движения достаточно уравнения движения в проекции на ось ОХ

OX : ma = mg sin α .

Отсюда находим a = g sin α, или с учетом выражения (3)

tgα ≈ 0,58, то каждый из брусков, будучи предоставленным самому себе, соскальзывал бы с наклонной плоскости. Если бруски начинают движение из положения, показанного на рис. 2.9, то возможны два различных движения системы:

53

–брусок массой m1 движется быстрее бруска массой m2. В этом случае сила взаимодействия между брусками R = 0;

–бруски движутся вместе с одинаковыми ускорениями.

Выясним, какой случай соответствует условию нашей задачи. Для этого найдем ускорения брусков a1 и a2 , если бы они двигались независимо

друг от друга.

На каждыйG из брусковGпри этом действуют три силы: тяжести mg , реакции опоры N и трения Fтр . Запишем уравнения движения брусков

в проекциях на оси системы координат

ОХ: m1a1 = m1g sin α − Fтр ; OY: 0 = N1 − m1g cosα; ОХ: m2a2 = m2 g sin α − Fтр; OY: 0 = N2 − m2 g cosα,

или с учетом соотношений Fтр1 = µ1N1, и Fтр2 = µ2 N2 :

a1 = g(sin α −µ1 cosα) ; a2 = g(sin α −µ2 cosα).

Так как по условию задачи µ1 > µ2, то, очевидно, а1 < a2. Следовательно, бруски будут двигаться вместе с одинаковым ускорением, величину которого найдем из уравнений движения при условии, что бруски взаимодействуют между собой с силой R :

m1a = m1g sin α −µ1m1g cosα + R ; m2a = m2 g sin α −µ2m2 g cosα − R.

Отсюда находим

R = m1m2 (µ1 − µ2 ) cos α g ≈ 0,85 H. m1 + m2

Ответ: R = m1m2 (µ1 −µ2 )cosα g ≈ 0,85 H. m1 + m2

Пример 3.

Между наклонной плоскостью клина, стоящего на горизонтальной поверхности, и вертикальной стенкой кладут шар такой же массы, что и клин (рис. 2.10). Определить ускорение клина, если угол при его основании равен α = 30°. Трения нет (уровень 3).

54

где учтено, что N1 = N1/ .

Для получения замкнутой системы уравнений необходимо еще одно соотношение, связывающее неизвестные величины а1, а2 и N1. Поскольку связь между ускорениями а1, а2 и силой N1 дают уравнения движения (1) – (2), то, очевидно, нужно найтисвязь между ускорениями тел.

Из рис. 2.10 видно, что если шар опустится на расстояние S2, то клин сместится на S1, причем

55

Законы сохранения импульса и энергии

Пример 4.

Мяч массой m = 60 г свободно падает на пол с высоты Н = 2 м и подскакивает на высоту h = 1 м. Определить продолжительность удара, если среднее значение силы удара мяча о пол равно <F> = 2 H. Сопротивлением

записав кинематические уравнения движения мяча вблизи поверхности Земли:

а) при падении мяча вниз:

m( 2gH + 2gh) = (< F > −mg)∆t ,

56

а искомая продолжительность удара

Пример 5.

Лодка длиной A = 3 м и массой М = = 120 кг стоит на спокойной воде (рис. 2.12). На носу и корме находятся два рыбака массой m1 = 90 кг и m2 = 60 кг. На какое расстояние сместится лодка относительно воды, если рыбаки пройдут по лодке и поменяются местами? Сопротивлением воды пренебречь (уровень 3).

Решение. Будем рассматривать лодку и рыбаков как одну систему. При перемещении рыбаков по лодке на систему будут действовать внешние силы: сила тяжести

и сила Архимеда. Обе эти силы направлены вертикально и их результирующая равна нулю. Поскольку по условию задачи сопротивлением воды следует пренебречь, то это означает, что в горизонтальном направлении на систему никакие внешние силы не действуют. Следовательно, в направлении возможного перемещения лодки система «лодка – рыбаки» замкнута, и проекция импульса на ось ОХ меняться не будет.

Представим импульс системы в виде

P = MсистυGc ,

где Mсист = M + m1 + m2 – масса системы; υс– скорость ее центра масс. Так как при перемещении рыбаков (P)x =const , то и υGc =const . По-

скольку лодка первоначально покоилась, то проекция υcx = 0 , т.е. при

перемещении рыбаков координата центра масс системы не изменит своего положения.

В начальный момент координата центра масс лодки с рыбаками

гдеа– расстояниеотначалакоординатдоцентрамасслодки(см. рис. 2.12, а).

57

где ∆x – смещение лодки относительно неподвижной системы отсчета

(см. рис. 2.12, б).

Приравнивая правые части соотношений (1) и (2)

Пример 6.

Брусок массой m и длиной A лежит на стыке двух горизонтальных столов (рис. 2.13). Какую минимальную работу надо совершить, чтобы перетащить тело волоком с первого стола на второй, если коэффициенты трения между телом и столами соответственно равны µ1 и µ2 (уровень 3).

Решение. Рассмотрим промежуточное положение бруска, соответствующее длине х его части, находящейся на втором столе. Силы, действующие на брусок в этот момент времени, представлены на рисунке. Чтобы совершить минимальную работу по перетаскиванию бруска, к нему необходимоG приложить горизонтальную силу F , которая по величине должна быть равна сумме

сил трения Fтр1 и Fтр2 , действующих на брусок со стороны первого

и второго столов:

F = Fтр1 + Fтр2 .

Поскольку силы реакции N1 = m1g, N2 = m2 g , то силы трения

Fтр1 = µ1N1 = µ1m1g , Fтр2 = µ2 N 2 = µ2 m2 g ,

где m1, m2 – массы частей бруска, находящихся в данный момент времени на первом и втором столах соответственно:

58

Следовательно

Как видим, сила F будет меняться в зависимости от пройденного бруском пути х по линейному закону. Работа переменной силы F может быть определена одним из трех способов.

Первый способ

График зависимости силы F от координаты (пройденного пути) х представлен на рис. 2.14. Работа переменной силы F численно равна площади заштрихованной фигуры (трапеции):

Второй способ

Поскольку сила F зависит от пройденного бруском пути х по линейному закону, то среднее значение силы

Пример 7.

Груз массой m = 100 г соединен невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через легкий блок, с пружиной жесткостью k = 10 H/м, прикре-

59

пленной к полу (рис. 2.15). В начальный момент груз удерживают на высоте h = 15 см от пола так, что нить натянута, а пружина не деформирована.

Чему будет равна максимальная скорость груза, если его отпустить? Какое количество тепла выделиться при абсолютно неупругом ударе груза о пол?

где х – растяжение пружины в этот момент. Следовательно

x = mkg ≈ 9,8 см

меньше чем h = 15 см, и скорость груза достигнет максимального значения. Поскольку в момент движения груза сила натяжения равна по величине силе упругости пружины, то работа сторонней силы Т на пути х будет равна работе консервативной силы Fупр

A(T ) = A(Fупр) = kx22 .

Если выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии на

уровне пола, то в начальном положении энергия системы равна потенциальной энергии груза

E1 = mgh ,

а на высоте (h – x) над полом – сумме потенциальной и кинетической энер-

гий груза и потенциальной энергии пружины

где υmax – максимальная скорость груза.

60