умк_Вабищевич_Физика_ч

Пример 2.

Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = – 0,5 нКл (рис. 1.15). Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на рас-

31

v∫ EndS = 0 ,

S1

так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности, равен нулю.

Из соображений симметрии En = E1 = const. Следовательно E1v∫dS =0

S1

и Е1 (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.

2. В области II гауссову поверхность проведем радиусом r2. В этом

3. В области III гауссова поверхность проводится радиусом r3. Обозначим напряженность Е области III через Е3 и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q1 + q2. Тогда

E3 = q1 + q2 .

4πε0r32

Учитывая, что q2 < q1, это выражение можно переписать в виде

Построим график E (r) (рис. 1.16). В области I (r1 < R1) E = 0. В области II (R1 ≤ r < R2) E2 (r) изменяется по закону 1/r2. В точке r = R1 напря-

32

области III (r > R2) E3 (r) изменяется по закону 1/r2, причем в точке r = R2

функция E (r) в точках r = R1, r = R2 терпит разрыв.

Рис. 1.16

Пример 3.

Определить напряженность поля между двумя бесконечными пластинами и вне их, если площадь каждой пластины S, их заряды q1 и q2 < q1. Рассмотреть также случай, когда заряд второй пластины отрицательный.

Решение. В любой точке пространства (между пластинами и вне их),

x

Рис. 1.17

33

Направим координатную ось ОХ перпендикулярно к пластинам. Проецируя векторы напряженностей на эту ось, получим: EA = – ( E1/ + E2/ ), EB = E1 − E2/ , EC = E1 + E2. Поскольку размеры пластин велики по сравнению с расстояниями до рассматриваемых точек, то

x

Рис. 1.18

На рис. 1.19 и 1.20 представлен график изменения напряженности поля вдоль прямой, соединяющей центры пластин.

Пример 4.

На тонком стержне длиной A равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Найти потенциал ϕ, созданный распределен-

34

ным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние A.

Решение. Выделим на стержне малый участок длиной dx. На этом участке будет сосредоточен заряд dq = τ dx, который можно считать точечным. Потенциал dϕ, создаваемый этимточечным зарядом вточке А(рис. 1.21) можно

Рис. 1.21

Согласно принципу суперпозиции электрических полей потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрированием

ϕ = 90 0,693 B = 9 109 10 10−9 0,693 B = 62,4 B .

Пример 5.

Найти напряженность Е и потенциал ϕ в центре полукольца радиусом R = 5 см, по которому равномерно распределен заряд q = 3 10−9 Кл.

Решение. Для определения напряженности E и потенциала ϕ в центре полукольца воспользуемся принципом суперпозиции.

Разделим полукольцо на малые элементы дуги dA так, чтобы заряд

dq = τ dA = πqR dA каждой точки дуги можно

было считать точечным. Выберем два произвольных симметрично расположенных относительно 00/ элемента дуги (рис. 1.22). Напряженности электрического поля в точке 0,

35

создаваемые выбранными элементами dE1 и dE2 . Согласно принципу суперпозиции dEG = dEG1 + dEG2. Из соображений симметрии следует, что алгебраи-

ческая сумма проекций напряженностей поля выбранных элементов на ось 0у равна нулю. Результирующее поле направлено вдоль оси 0х:

Положение точечного заряда dq на полукольце определяется углом α. Поэтому угол α выбираем в качестве переменной интегрирования

Потенциал ϕ в центре полукольца определяется алгебраической суммой потенциалов электрического поля dϕ элементарных зарядов (со-

В итоге занятия студент должен уметь решать задачи на расчет сил взаимодействия точечных зарядов и заряженных тел, уметь рассчитывать поля точечного заряда и системы точечных зарядов, заряженных: плоскости, конденсатора, сферы (шара), нити.

Пример 6.

Плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S = 200 см2 каждая и расстоянием между ними l = 5 мм заряжается до разности потенциалов U0 = 600 B и отключается от батареи. Как изменяются емкость и

36

энергия конденсатора, если в пространство между обкладками параллельно им внести металлическую пластину такой же площади и толщины l’ = 2 мм?

Решение. Внесение металлической пластины параллельно обкладкам конденсатора (при условии, что площади пластины и обкладок равны) не меняет конфигурации поля. Так как в плоском конденсаторе поле однородно, то не имеет значения расположение этой пластины – вплотную к одной из обкладок конденсатора или посередине между ними. И в том, и в другом случаях внесение пластины равнозначно уменьшению расстояния между обкладками отl доl – l’. Поскольку вносимая пластинарасполагается нормально ксиловым линиям поля, то вне ее напряженность поля меняться не будет (при условии, что конденсатор отключен от батареи). Но в толще этой пластины напряженность поля равна нулю. Это значит, что внесение пластины уменьшает объем пространства, в котором существует электрическое поле. Следовательно, энергияконденсаторабудетуменьшаться.

Уменьшение расстояния между обкладками за счет внесения пластины вызывает увеличение емкости конденсатора на величину

∆C = C2 −C1 = lε−0Sl′ − ε0lS = 23,6 10−12 Ф,

где С2 – конечная емкость конденсатора.

Изменениеэнергииконденсатораможетбытьрассчитанодвумяспособами. 1. Поскольку конденсатор отключен от батареи, заряд на его обкладках

остаетсяпостояннымиравным

q = C1U0 ,

где С1 – начальная емкость конденсатора.

Изменение энергии конденсатора при изменении емкости равно

2. Постоянство заряда на обкладках конденсатора обуславливает постоянствонапряженностиполя, аследовательно, иплотностиэнергии.

Однако поскольку внутри внесенной металлической пластины поля нет, то убыль энергии конденсатора равна энергии электрического поля в объеме металлическойпластинки

∆W = −ε02E2 S l′,

где E = Ul0 – напряженность поля между обкладками.

37

В результате получаем

Пример 7.

На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик – воздух. Определите силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд q одной пластины находится в поле напряженностью Е1, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

Пример 8.

Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 B. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2 = 5 мкФ. Какая энергия W/ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

38

Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов. Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался

прежним, выразимразностьпотенциаловU2

Пример 9.

Определим общую емкость системы конденсаторов, изображенную на рис. 1.23

Решение. Представим эту схему иначе. Левые обкладки конденсаторов на участках mn и ab соединены в точке а. Значит, они имеют одинаковый потенциал, например ϕ1. Расположим эти конденсаторы друг под другом (рис. 1.24). Правая обкладка конденсатора на участке mn соединена с правой обкладкой конденсатора на участке be, а правая обкладка конденса-

39

тора на участке ab соединена с левой обкладкой конденсатора на участке be, значит, этот конденсатор емкостью С может служить как бы перемычкой между конденсаторами емкостью 2С на участках mn и ab. Поэтому расположим участок be вертикально, соединив точки n и e (а также b и p) в одну точку. Конденсаторы на участках mn и ab оказались расположенными симметрично относительно конденсатора С слева от него.

Можно расположить конденсаторы на участках ed и pq справа от конденсатора С. Мы получим схему, изображенную на рис. 1.24. Из схемы видно, что левые обкладки верхнего и нижнего конденсаторов, расположенных слева от конденсатора С, имеют одинаковый потенциал ϕ1, такой же, как и потенциал точки а. Поскольку емкости этих конденсаторов одинаковы, то и заряд на их обкладках будет одинаков. Но это означает, что и правые обкладки этих конденсаторов в силу симметрии схемы относительно перемычки mn тоже имеют одинаковый потенциал, который обозначим, например, ϕ2. Верхняя обкладка конденсатора С соединена с правой обкладкой верхнего конденсатора, расположенного на участке mn; следовательно она тоже имеет потенциал ϕ2. А нижняя обкладка конденсатора С соединена с правой обкладкой нижнего конденсатора на участке аb; значит, и она имеет потенциал ϕ2.

Следовательно, обкладки конденсатора С в этой схеме всегда будут иметь одинаковый потенциал ϕ2 и разность потенциалов между обкладками этого конденсатора всегда будет равной нулю при подключении этой батареи к любому источнику зарядов. Заряд на его обкладках тоже будет всегда равным нулю согласно формуле

q = C(ϕ2 −ϕ1) = 0 .

Поэтому конденсатор С всегда будет оставаться незаряженным при подключении этой батареи к любому источнику зарядов, и его (в схеме) можно убрать, заменив схему, изображенную на рис. 1.24, схемой, изображенной на рис. 1.25.

40