умк_Вабищевич_Физика_ч

Выражение для скорости распространения продольных волн в стержне

где E – модуль Юнга.

В изотропном твердом теле по любому направлению могут распро-

скоростях используют, например, для определения положения эпицентра землетрясений в сейсмографах.

В жидкостях возможно распространение лишь продольных волн. Скорость их распространения определяется формулой

где k – модуль всестороннего сжатия, ρ– плотность жидкости (например, в

воде uII ≈1450 м/с).

Скорость распространения продольных волн в газообразной среде (звук) определяетсявыражением

емкости газа при постоянном объеме (показатель адиабаты), P и ρ – давление и плотность невозмущенного газа. С учетом уравнения Менделеева –

Клапейрона Pρ = RTµ (µ – молярная масса газа, Т – абсолютная температура,

R – универсальная газовая постоянная) выражение (13) принимает вид

161

При нормальных условиях скорость звука в воздухе составляет uII ≈340 м/с.

Отдельную группу представляют волны на поверхности жидкости. Распространение таких волн обусловлено действием сил тяжести и поверхностного натяжения. Роль этих сил различна для волн разной длины: для достаточно коротких волн, когда кривизна поверхности жидкости велика, преобладающими являются силы поверхностного натяжения, а в случае длинных волн этими силами можно пренебречь. В первом случае волны на воде называются капиллярными и представляют собой мелкую рябь. Во втором случае волны называются гравитационными.

Для определения скорости капиллярных волн uσ воспользуемся ме-

тодом анализа размерности. Физическими величинами, от которых может зависеть скорость таких волн, являются коэффициент поверхностного на-

этих величин со скоростью капиллярной волны запишем в виде уравнения uσ =Cσxρyλz ,

гдеС– некоторыйкоэффициентпропорциональности, (x, y, z) – показателистепени, которыедолжнысогласоватьразмерностилевойиправойчастейуравнения

При рассмотрении гравитационных поверхностных волн предполо-

жим, что скорость их распространения ug зависит от объема воды, вовле-

ченного в волновой процесс (от глубины водоема h), ускорения свободного падения g и, возможно, от соотношения глубины и длины волны С (коэффициент пропорциональности). Метод размерности дает выражение

ug = C gλ .

162

Параметр С нельзя определить из анализа размерностей. Параметр С учитывает тот факт, что на очень глубокой воде, когда λ << h , скорость волны не может зависеть от глубины водоема, т.е. волна не возмущает глубинные слои воды. На очень мелкой воде, когда h << λ, скорость распространения волны не должна зависеть от длины волны.

Впервом случае: λ << h , f λ ≈ С. Следовательно

h

В общем случае скорость распространения капиллярно-гравитационных волнопределяется выражением

u = uσ2 +ug2 .

Анализ показывает, что на поверхности воды не могут существовать волны, распространяющиеся со скоростью меньшей, чем 23,2 см/с.

Капиллярные волны на поверхности воды – это рябь с длиной волны менее 1 см. Поэтому обычные волны, которые мы наблюдаем на поверхности воды, имеют гравитационную природу. Причем, поскольку скорость их распространения зависит от глубины водоема, то в открытом океане (где глубина достигает нескольких километров) скорость их распространения может достигатьсотенметроввсекунду(т.е. волнабежитсоскоростьюсамолета).

Дисперсия волн

Под дисперсией волн понимают зависимость скорости распространения волн в среде от длины волны. Дисперсия обнаруживается в ряде физических явлений, в частности в зависимости коэффициента преломления волн на границе диспергирующих сред, в формировании волновых групп, движущихся в среде со скоростью, отличающейся от фазовой скорости волн.

Рассмотрим процесс формирования волновой группы в результате дисперсии. Пусть (для простоты рассмотрения) две волны с близкими длинами волн λ и λ + ∆λ распространяются в диспергирующей среде (рис. 1.4) с фазовыми скоростями u и u + ∆u . Пусть в некоторый момент времени в некоторой точкесреды фазы волн Ри Р1 совпадают (рис. 1.4). Если для этого момента времени осуществить сложение волн (в соответствии с принципом супер-

163

позиции) в направлениях распространения и обратном, то за счет разности длин волн сдвиг фаз волн в некоторых точках оси х слева и справа от х0 достигает величины π. В этом случае смещения точек среды от равновесного положения будут складываться в противофазе и результирующее смещение будет минимальным. В то же время в точке х0 результирующее смещение будет максимальным. Таким образом формируется волновая группа с центром в х0. Подобная группа может сформироваться и в недиспергирующей среде.

Так как волна ( λ + ∆λ) распространяется с большей скоростью (u + ∆u ), как мы приняли, через время τ фаза точки Р обгоняет фазу Р1. Пусть при этом совпадут фазы точек Q и Q1. Это означает, что центр волновой группы сместится за время τ на длину волны λ. Поэтому скорость перемещения центра волновой группы (группо-

вая скорость) uг меньше скорости вол-

Рис. 1.4

ны (λ) – фазовой скорости на λ/τ

uг = u − λτ .

Время τ, в течение которого точка Q1 догоняет Q, равно ∆λ∆u . Поэтому выражение для групповой скорости при ∆λ → 0 принимает вид

в практике знак производной может быть любым. В этом случае различают

нормальную du/dλ > 0 и аномальную du/dλ < 0 дисперсии.

В качестве примера определим групповую скорость гравитационных волн на глубокой воде

Скорость распространения центра группы гравитационных волн на глубокойводеоказываетсявдвоеменьшескоростимонохроматическихволн.

164

Таким образом, при наличии дисперсии группа как целое движется с иной скоростью, чем входящие в ее состав монохроматические волны (горбы и впадины). Это возможно потому, что в процессе распространения группа волн «живет»: на одном конце группы возникают новые горбы, а на другом горбы угасают.

Энергия упругой волны

При распространении волн происходит передача энергии без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии частиц вещества, совершающих небольшие колебания, и из потенциальной энергии упругой деформации среды. Связь энергии с параметрами волнового процесса и среды рассмотрим на примере волны, распространяющейся вдоль упругого стержня. Такая волна описывается уравнением

ξ= acosω t − x .

u

Выделим в стержне малый элемент длины между плоскостями х и х+ ∆х так, что ∆х<< λ . В этом случае скорости всех частиц можно считать одинаковыми

Масса выделенного элемента стержня ∆m равна ρS∆x (где S – площадь сечения стержня, ρ – плотность материала стержня), поэтому его кинетическая энергия ∆Eк в момент времени t

Плотность кинетической энергии в точке x в момент времени t

Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с длиной волны, то вызываемую волной деформацию элемента можно считать однородной. Поэтомупотенциальнуюэнергиюдеформации ∆En можнозаписать

165

где ∆ – удлинение рассматриваемого элемента стержня ∆x , вызванное про-

а плотность потенциальной энергии в точке х и в момент времени t

асреднее значение вдоль направления распространения волны

ω= 12 ρω2a2 .

166

Энергия бегущей волны не остается локализованной. Она перемещается вместе с волной со скоростью u. Имея выражения для объемной плотности энергии ω, можно определить поток энергии ∆Ф, переноси-

мой волной за единицу времени через произвольную площадку ∆S , перпендикулярную направлению распространения волны ∆Ф = ωu∆S Величина

j = ddSФ = ωu носит название плотности потока энергии волны. Поскольку

скорость u – векторная величина, то плотность потока энергии волны также векторная величина, которая получила название вектора Умова:

Для примера, определим поток энергии через сферическую поверхность S, переносимый сферической волной, распространяющейся из центра сферы. В этом случае во всех точках поверхности величина jn одинакова и

равна j. Поэтому

Ф = j4πr2 ,

где r – радиус сферической поверхности S. Подставим вместо j среднее значение 12 ρa(r )2 ω2u

Ф = 12 ρa(r )2 ω2u4πr2 .

Поскольку средний поток энергии через сферу любого радиуса одинаков (Ф = const ), из последнего соотношения следует, что a(r )= constr .

Поэтому для сферической волны мы ранее записали

167

Принцип Гюйгенса

Каждая точка пространства, до которой дошел фронт волны, сама становится источником вторичной сферической волны с параметрами, соответствующими параметрам первичной волны.

Отражение и преломление упругих волн

При распространении упругой волны в неоднородной среде направление и распространение, вообще говоря, меняется. В простейшем случае двух однородных сред, отделенных одна от другой плоской границей раздела, волна частично отражается, частично преломляется на этой границе (рис. 1.6). В ре-

Рис. 1.6 зультате возникает две новые волны – отра-

женная и преломленная, направления кото-

рых отличаются от направления падающей волны. На основе принципа Гюйгенса могут быть получены закон отражения:

α = α/

скорости волны в первой и второй средах соответственно.

Отражение волны от границы раздела сред требует отдельного рассмотрения. При падении плоской монохроматической волны на границу раздела возникает также плоская волна, распространяющаяся в обратном направлении с такой же по модулю скоростью u. Запишем уравнение падающей волны

тельная разность фаз, возникающая в результате отражения. Колебания любой точки среды есть результат сложения гармонических колебаний, вызываемых падающей и отраженной волнами (рис. 1.7). Если среда, в которой распространяется падающая волна, оказывается менее плотной, чем среда,

168

от которой происходит отражение (например, конец струны закреплен), то складываемые колебания в этой точке (точке закрепления) должны погасить друг друга.

Рис. 1.7

Таким образом, колебания должны происходить в противофазе. В этом случае δ = π, ауравнениеотраженнойволны

Напротив, если конец струны свободен (плотность среды, в которой распространяется падающая волна, выше, чем плотность среды за границей раздела), то амплитуда результирующих колебаний в точке закрепления должна быть максимальной. Таким образом, в этом случае отраженная и падающая волны имеют одинаковые фазы (δ = 0).

Законы отражения и преломления справедливы только при условии, что протяженность границы раздела значительно превышает длину волны λ. Если это условие не выполняется, то существенное значение начинает играть дифракция волн, которая проявляется в огибании волнами препятствия. Представим, что плоская волна приближается к преграде, имеющей небольшое отверстие, которое можно считать точечным (рис. 1.8). Максимумы приходящей волны производят периодическое возмущение в отвер-

169

Стоячие волны

При сложении волн с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливаются, а в других точках ослабляются. Таким образом, результатом интерференции является перераспределение энергии упругих волн в пространстве. Волны, для которых возможно наблюдать интерференцию, носят название когерентные волны (обладающие постоянной во времени частотой и разностью фаз). Проще всего найти результат сложения таких колебаний с помощью векторных диаграмм. Пусть складываемые колебания имеют вид

Поскольку энергия колебаний (интенсивность волны) пропорциональна квадрату амплитуды, то из выражения (20) видно, что энергия результирующего колебания в общем случае не равна сумме энергий складываемых колебаний.

Особым случаем интерференции является Рис. 1.9 наложениедвухвстречныхкогерентныхплоских волн с одинаковой амплитудой. Такой случай

возникает при отражении волны от границы раздела сред (см. рис. 1.7). Возникающий в результате волновой процесс называют стоячей волной. Запишем уравнениядвухплоскихволн:

для падающей волны

170