2.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области. Тогда она достигает в некоторых точкахсвоего наибольшегои наименьшегозначений (так называемыйглобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области, или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 2.2.Найти наибольшее и наименьшее значения функциив замкнутой области, ограниченной линиями:.

Решение.1)Строим замкнутую область, ограниченную линиями:.

 ,,,.

Таким образом, получаем четыре стационарные точки, ни одна из которых не принадлежит области .

3)Исследуем функцию на границе области, состоящей из участкови.

а) на границу :.

Тогда получаем функцию от одной переменной :. Находим критические точки:.

.

Далее .

б) на границу :.

Тогда получаем функцию от одной переменной :. Находим критические точки:.

и.

Далее .

в) на границу :.

Тогда получаем функцию от одной переменной :. Находим критические точки:.

.

Далее .

г) на границу :.

Тогда получаем функцию от одной переменной :

.

Находим критические точки: .

. Значит, на границекритических точек нет.

4)Находим значения функции в вершинах области:. Выше были найдены значения функциии, что соответствует значениям функции в точкахи. Поэтому находим значения функции в точкахи:

;

.

Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:

;.



3. Производная по направлению. Градиент

3.1. Производная по направлению

Пусть задана функция , и точка. Будем предполагать, что функциянепрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области.

Проведем из точки вектор, направляющие косинусы которого.

.

Учитывая, что , то полученное равенство будет иметь следующий вид:

.

Перейдем к пределу при .

Определение 3.1.Предел отношенияприназываетсяпроизводной от функции в точкепо направлению вектораи обозначается, т.е..

Итак, если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

, (3.1)

где направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (3.2) примет следующий вид:

, (3.2)

где .

Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлениюбудет являтьсяскоростью изменения функции в точке по направлению вектора .

3.2. Градиент

В каждой точке области , в которой задана функция, определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производныхв выбранной точке .Назовем этот векторградиентомфункциии обозначим его символами.

Определение 3.2.Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (3.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией, соответствует определенный вектор – градиент этой функции.

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

,

где угол междуи направлением.

Установим некоторые свойства градиента.

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при.

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление векторасовпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно.

Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать.наибольшая скорость изменения функциив точке.

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

Пример 3.1.Дана функция. Найти:

1) производную в точке по направлению вектора;

2) производную в точке по направлению к точке;

3) градиент функции в точке .

Решение.1) Находим частные производные и значения частных производных в точке:

;

;

.

Находим направляющие косинусы вектора :

.

Тогда по формуле (3.1) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция возрастает.

2) Находим координаты и направляющие косинусы вектора :

;

.

Тогда по формуле (3.1) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция убывает.

3) Используя формулу (3.3) запишем градиент функции в точке :

.

