2. Использование частных производных

В ИССЛЕДОВАНИИ ФНП

2.1. Экстремум функции двух переменных

Понятие максимум, минимум, экстремум функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция определена в некоторой области, точка.

Определение 2.1.Точканазываетсяточкой максимума, если существует такая-окрестность точки, что для каждой точки, отличной от, из этой окрестности выполняется неравенство

.

Определение 2.2.Точканазываетсяточкой минимума, если существует такая-окрестность точки, что для каждой точки, отличной от, из этой окрестности выполняется неравенство

.

Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум(минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ееэкстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точкесравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к. В областифункция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Рассмотрим условия существования экстремума функции (примем без доказательства).

Теорема 2.1 (необходимое условие экстремума).Если точкаявляется точкой экстремума функции, тоили хотя бы одна из этих производных не существует.

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.

Например, функция имеет частные производные, которые обращаются в нуль при. Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом.

Например, функция имеет экстремум в точке, но не имеет в этой точке частных производных.

Определение 2.3.Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называютсякритическими точками.

Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.

Для исследования функции в критических точках сформулируем достаточное условие экстремума функции двух переменных. Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 2.2 (достаточное условие экстремума).Пусть функцияимеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку. Вычислим в точкезначения. Обозначим

.

Тогда:

1. если , то функцияимеет экстремум в точке:

• максимум, если ;

• минимум, если ;