1.4. Частные производные высших порядков

Пусть имеем функцию двух переменных . Частные производныеи, вообще говоря, являются функциями переменныхи. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменныхчетыре, так как каждую из функцийиможно дифференцировать как по, так и по. Вторые частные производные обозначают так:

: здесьдифференцируется последовательно два раза по;

: здесьдифференцируется последовательно по, а потом

результат дифференцируется по ;

: здесьдифференцируется последовательно по, а потом

результат дифференцируется по ;

: здесьдифференцируется последовательно два раза по;

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по. Получим частные производные третьего порядка. Например,,,и т.д. Аналогично определяются частные производные четвертого и выше порядка.

Вообще, частная производная n-го порядкаесть первая производная от производной (n1)-го порядка. Например,есть производнаяn-го порядка – здесь функциясначалараз дифференцируется по, а потомраз по.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,,.

Для функций любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

Пример 1.3.Найти частные производные второго порядка для функции:

.

Решение.Находим частные производные первого порядка:

.

Находим частные производные второго порядка:

,,,.



Из примера 1.3. видно, что . И это не случайно. Имеет место теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 1.1 (теорема Шварца).Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем.

1.5. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Составим полное приращение функции в точке:

.

Определение 1.8.Функцияназываетсядифференцируемой в точке, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1.1)

где ипри. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1.1) представляет собойглавную часть приращения функции.

Определение 1.9.Главная часть приращения функции, линейная относительнои, называетсяполным дифференциаломэтой функции и обозначается символом:

. (1.2)

Выражения иназываютсячастными дифференциалами. Для независимых переменныхиполагаюти. Поэтому равенство (1.2) можно представить в виде

. (1.3)

Надо отметить, если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производныеи, причем,. Тогда формула для вычисления полного дифференциала примет вид:

. (1.4)

Для функции переменныхполный дифференциал определяется выражением

. (1.5)

Пример 1.4.Найти полный дифференциал функции.

Решение.Находим частные производные первого порядка:

,,.

Согласно формуле (1.5) получаем

.



Полный дифференциал функции (формула (1.4)) называется также дифференциалом первого порядка.

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка.Дифференциал второго порядкаопределяется по формулеи имеет следующий вид:

. (1.6)

Аналогично можно получить формулы для дифференциала третьего и более высокого порядков.

Пример 1.5.Найти, если.

Решение.Находим частные производные первого порядка:

.

Находим частные производные второго порядка:

,,.

Согласно формуле (19.6) получаем

.

