Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

РАЗДЕЛ 5 Дифференциальные уравнения

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

376.83 Кб

Скачать

☆

РАЗДЕЛ 5

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1. Основные понятия

При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения является функция  первообразная для функции .

Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . ДУ записывается так:

или

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.

Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение  обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение  ДУ третьего порядка;  ДУ в частных производных первого порядка.

Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.

Например, для уравнения функции вида , или , где  любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения функция вида , где , является решением данного уравнения.

1.2. ДУ первого порядка (общие понятия)

ДУ первого порядка имеет вид . Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно будет иметь следующий вид . В этом случае говорят, что ДУ разрешено относительно производной.

Как видно из приведенных выше примеров, в решение ДУ входит произвольная постоянная . На основе этого введем понятия общее решение и общий интеграл ДУ.

Определение 1.4. Общим решением ДУ первого порядка называется функция вида , которая содержит произвольную постоянную . (может случиться, что изменяется лишь в некоторых пределах). Если общее решение задается неявно, т.е. равенством вида , то оно называется общим интегралом ДУ.

Придавая произвольной постоянной определенные допустимые числовые значения, будем получать частные решения, определяемые заданным начальным условиям.

Обычно начальное условие ДУ I порядка задается указанием пары соответствующих друг другу значений независимой переменной и функции . Записывается это так:

или .

Естественно, возникает вопрос: существует ли решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию , и будет ли это решение единственным? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой, впервые сформулированной и доказанной Коши. Часто задачу отыскания частного решения по начальному условию называю задачей Коши.

Теорема 1.1 (теорема Коши о существовании и единственности решения).

Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию при .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .

Из только что сформулированной теоремы вытекает, что уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Каково бы ни было начальное условие при , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения и принадлежат к той области изменения переменных и , в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.

Определение 1.5. Частным решением ДУ называется любая функция , которая получается из общего решения , если в последнем произвольной постоянной придать определенное значение при начальном условии . Соотношение называется в этом случае частным интегралом ДУ.

Пример 1.1. Для уравнения первого порядка общим решением будет семейство функций (это можно проверить простой подстановкой в уравнение).

Найдем частное решение (решим задачу Коши), удовлетворяющее следующему начальному условию: при . Подставляя эти значения и в формулу , получаем или . Следовательно, искомым частным решением будет функций . 

График частного решения ДУ называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Таким образом, отыскание частного решения сводится к тому, что из семейства интегральных кривых нужно выбрать ту, которая проходит через точку .

Определение 1.6. Решить или, как часто говорят, проинтегрировать ДУ – значит:

1) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы);

2) найти его частное решение (частный интеграл), которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковы имеются).

1.3. ДУ с разделяющимися переменными

Определение 1.7. Дифференциальным уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

, (1.1)

где зависит от , а зависит от .

В этом уравнении переменные разделены, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

 его общий интеграл.

Пример 1.2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируем обе части равенства:

Получаем . Данное решение легко выразить в явном виде .



Пример 1.3. Решить задачу Коши для уравнения при начальном условии .

Решение. Интегрируем обе части равенства. Записываем для удобства потенцирования произвольную постоянную в виде , получаем , откуда , или .

Подставляя в общее решение начальное условие, найдем : . Таким образом, функция является искомым частным решением данного ДУ.



Определение 1.8. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(1.2)

Особенность уравнения (1.2) в том, что коэффициенты при и представляют собой произведение двух функций (чисел), одна из которых зависит только от , а другая – от .

Уравнение вида (1.2) легко сводится к уравнению (1.1) путем почленного деления его на . Получаем

Проинтегрировав, получаем общий интеграл

Замечания. 1) При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения,  особые решения.

2) Уравнение также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

Пример 1.4. Найти общее решение уравнения .

Решение. 1) Разделим переменные, приведем его к виду

2) Интегрируем каждую часть равенства:

а) ;

б) .

3) Итак, получаем общее решение, причем является неявной функцией от .

Заменяя на , можно представить решение и в таком виде

Кроме этого, есть еще частное решение , графиком которого является горизонтальная прямая .



Кроме дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными к ДУ первого порядка относятся однородные ДУ, линейные ДУ, уравнения в полных дифференциалах.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

2.1. Основные понятия

Как уже отмечалось выше, ДУ -го порядка символически можно записать в виде

Если ДУ -го порядка можно разрешить относительно -й производной, то ДУ будет иметь вид

В частности, ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде , или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной, т.е. .

Будем рассматривать только такие ДУ высших порядков, которые можно разрешить относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении ДУ первого порядка. Теорему примем без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении

функция и ее частная производные по аргументам непрерывны в некоторой области, содержащей значения

, , , …, ,

то существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям

, , …, ,

которые называются начальными условиями.

Определение 2.1. Общим решением ДУ -го порядка называется функция , зависящая от и произвольных постоянных .

Функция вида , неявно определяющая общее решение, называется общим интегралом ДУ -го порядка.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных , которые находятся из начальных условий, называется частным решением.

Решить (проинтегрировать) ДУ -го порядка – значит:

1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы);

2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим только один тип ДУ, допускающих понижение порядка:

ДУ вида .

Так как , то , где  постоянная интегрирования.

Интегрируя еще раз, получаем

Продолжая далее, получим, наконец (после интегрирований), выражение общего решения. Чтобы найти частное решение, при заданных начальных условиях находим значения произвольных постоянных.