Корреляция

Часто возникает задача обнаружения одного сигнала в другом. Например, может быть известно, что некоторое внешнее событие генерирует в датчике сигнал определенной формы. Однако события могут приходить почти одновременно, а сигналы от них – перекрываться. Кроме того, на выходе датчика может присутствовать шум, затрудняющий нахождение нужных сигналов. Для надежного обнаружения таких сигналов применяется метод корреляции. Пусть датчик генерирует сигнал s(n), и мы хотим обнаружить в нем последовательность g(n) некоторой конечной длины. Для поиска этой последовательности вычисляются скалярные произведения сигналов s(t+n) и g(n) для различных t. То есть пытаются «приложить» искомый сигнал во всех возможных положениях к сигналу с датчика и найти их «степень похожести» (скалярное произведение) для каждого положения. Таким образом, на выходе мы получаем сигнал r(t), показывающий, насколько сигнал с датчика s(n) в позиции t похож на искомый сигнал g(n).

Смысл сигнала r(t) в том, что его величины для каждого n показывают, насколько входной сигнал в позиции k похож на искомый сигнал. Если во входном сигнале присутствует только шум, то и значения корреляции будут шумом небольшой амплитуды. Но как только в шуме входного сигнала появится форма, похожая на искомый сигнал, так значение корреляции в этой точке станет высоким.

Корреляцию можно вычислять как свертку, положив в качестве ядра свертки искомый сигнал, развернутый относительно нулевой точки. Иногда корреляцию называют кросс-корреляцией или перекрестной корреляцией. Термин «автокорреляция» применяется, когда находится корреляция сигнала с самим собой. Смысл этой операции в том, чтобы найти наиболее вероятные периоды повторения формы исходного сигнала.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной).

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов. АКФ сигнала s(n), является количественной характеристикой формы сигнала, и определяется суммой от произведения двух копий сигнала s(n), сдвинутых относительно друг друга. АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t.

Для вычисления корреляции в основном используют два подхода:

1. Прямой метод. Вычисление корреляции двух сигналов выполняется во временной области и в данном случае выполняется векторно-матричное произведение входного вектора на матрицу, строки которой представляют собой всевозможные сдвиги исходного сигнала. Соответствующее матричное представление имеет вид:

(14)

2. Вычисление корреляции на основе двукратных преобразований. Процедура отыскания корреляции двух сигналов выполняется в частотной области, используя свойство:

=(15)

Таким образом, для получения корреляции следует выполнить следующие действия:

1) найти преобразования Фурье (обобщенные спектры) исходных последовательностей;

2) вычислить поточечное произведение этих последовательностей, причем одна из них должна быть взята в комплексно-сопряженной форме;

3) вычислить обратное преобразование Фурье от произведения спектров.

При вычислении корреляции можно добиться значительного сокращения вычислительных затрат, применяя быстрые алгоритмы дискретных преобразований.