MATEMATICHESKAJA_MODEL-KHishchniki-zhertvy

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ “ХИЩНИКИ - ЖЕРТВЫ”

Цели работы:

1.Познакомиться с основами математического моделирования.

2.Исследовать классическую математическую модель из области биологии.

I. Контрольные вопросы

1.Что называется моделью?

2.Назовите виды моделей в биологии и медицине?

3.Каковы отличительные особенности математического моделирования?

4.Какие этапы математического моделирования освещены в данной работе?

5.Какие упрощения и учитываемые факторы положены в основу математической модели в данной лабораторной работе?

6.Укажите смысл каждого слагаемого в дифференциальных уравнениях модели.

II. Теоретическая часть

1. Основные виды моделирования

Есть реальный мир вещей и явлений - звезд, атомов, перемещений, жизни организмов, болезней. А есть отображающий эту реальность мир моделей, с которыми, в конце концов, работает ваша мысль. Анализируя модели, мы прогнозируем свойства или дальнейшее поведение реального объекта.

Модель − это искусственно созданный человеком объект любой природы, который замещает или воспроизводит исследуемый объект так, что изучение модели способно давать новую информацию об объекте. Модель всегда беднее реального объекта, она всегда отображает некоторые его черты, причем, в разных случаях − разные, все зависит от задачи, для решения которой создается модель.

Объектом исследования в биологии и медицине является живой организм, который представляет собой очень сложную систему. Поэтому исследователь неизбежно выбирает упрощенную точку зрения, подходящую для решения конкретно поставленной задачи. Выбор модели определяется целями исследования. Можно выделить четыре вида моделей, используемых

вмедицине и биологии:

1.Биологические предметные модели, служат для изучения общих биологических закономерностей, действий различных препаратов, методов лечения. К этому типу моделей относятся лабораторные животные, изолированные органы, культуры клеток. Этот вид моделирования, самый древний и играет большую роль в современной науке (первые полеты в космос, испытание новых лекарств и т.д.)

2.Физические (аналоговые) модели − это физические системы или устройства, которые обладают аналогичным с моделируемым объектом поведением. Физическая модель может быть реализована в виде некоторого механического устройства или в виде электрической цепи. Например, процесс движения крови по крупным сосудам может быть смоделирован электрической цепью из конденсаторов и сопротивлений.

К физическим моделям относятся технические устройства, заменяющие органы и системы органов живого организма. Это аппараты искусственного дыхания, которые моделируют легкое, аппараты искусственного кровообращения (модель сердца) и т.д. Физическое моделирование является традиционным для медицины и в настоящее время широко используется и в лечебной практике и в исследовательских целях.

3.Кибернетические модели − это различные устройства, в составе которых имеется блок управления − чаще всего компьютер, который моделирует информационные процессы в живом организме, среди которых самый распространенный − это управление. (Например, управление движением руки, всего тела или управление величиной зрачка). Сложность таких кибернетических моделей разная, вплоть до “искусственного интеллекта”, являющегося кибернетической моделью мозга человека.

4.Математическая модель − это система формул, функций, уравнений, описывающих те или иные свойства изучаемого объекта, явления или процесса.

Многие моделируемые объекты и процессы в области медицинских и биологических наук поддаются математической формализации различной степени точности. Поэтому очень часто создаются математические модели, особенно с использованием компьютерной техники. В этой связи более подробно рассмотрим математическую модель.

2.Математическая модель

Всякое медико-биологическое явление бесконечно в своей сложности. Проиллюстрируем это с помощью следующего примера.

... Пациент формулирует врачу задачу следующим образом: "Сколько времени мне потребуется для выздоровления?" Врач начнет создавать свой вариант задачи приблизительно так: "Будем считать, что у Вашего организма средние резервы для выздоровления и сейчас нет осложнений. Тогда ..."

—Позвольте, — может сказать "заказчик", — меня не устраивает такое упрощение. Я хочу знать точно, когда я, реальный человек, с моими резервами и моими особенностями выздоровею, а не абстрактный средний пациент со средними резервами

—Хорошо, — согласится врач-прогнозист. — Будем считать, что у Вас благоприятная наследственность, результаты лабораторных анализов соответствуют возрастной норме... Когда началось заболевание?

—Около недели назад. Но мою наследственность нельзя считать такой уж благоприятной, от подобного заболевания умерла моя прапрабабушка по отцовской линии.

—Тогда будем считать, что если данное заболевание наследуется по рецессивно-доминантному принципу и не имеет сцепленности с полом, если Вы получаете адекватное лечение и если Вы избавитесь от вредных привычек, то вероятнее всего...

Если тот, кто поставил задачу на "человеческом" языке не будет дальше вмешиваться в ход мысли врача-прогнозиста, то последний через некоторое время, скорее всего, даст какой-нибудь численный ответ. Но "пациент-потребитель" может возражать по-прежнему: лечение вовсе неидеально, так как назначенные лекарства вызывают нарушения пищеварения, а отказывать себе в удовольствиях он не собирается и т.д.

Что же ответит ему врач-прогнозист?

Он ответит: "Точно ответить на этот вопрос вообще невозможно. Мало того, что течение заболевания нельзя точно предсказать без углубленных биохимических и цитогенетических анализов, неизвестны также индивидуальные оптимальные дозы и вид лекарств, пути их введения

ворганизм и кратность приема.

Если пойти ещё глубже, нужно учесть, что физиологические функции, особенно больного организма, весьма подвержены различным влияниям различных внешних факторов. Отсюда следует, что даже изменение погоды или незначительная эмоциональная реакция теоретически могут повлиять на исход заболевания.

Короче говоря, если мы всерьез захотим точно спрогнозировать

состояние конкретного организма, то нам предварительно придется узнать значения всех его морфологических и функциональных параметров, а также значения всех факторов окружающей среды. А это, разумеется, невозможно ....

Поэтому, чтобы описать медико-биологическое явление, необходимо выявить самые существенные его свойства, закономерности, внутренние связи, роль отдельных характеристик явления. Выделив наиболее важные факторы, можно пренебречь менее существенными.

Наиболее эффективно математическую модель можно реализовать на компьютере в виде алгоритмической модели — так называемого "вычислительного эксперимента".

Конечно, результаты вычислительного эксперимента могут оказаться и не соответствующими действительности, если в модели не будут учтены какие-то важные стороны действительности.

Итак, создавая математическую модель для решения задачи, нужно:

1)выделить предположения, на которых будет основываться математическая модель;

2)определить, что считать исходными данными и результатами;

3)записать математические соотношения, связывающие результаты с исходными данными.

При построении математических моделей далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые величины через данные. В таких случаях используются математические методы, позволяющие дать ответы той или иной степени точности.

Существует не только математическое моделирование какого-либо явления, но и визуально-натурное моделирование, которое обеспечивается за счет отображения этих явлений средствами машинной графики, т.е. перед исследователем демонстрируется своеобразный "компьютерный мультфильм", снимаемый в реальном масштабе времени. Наглядность здесь очень высока.

Закон всемирного тяготения, закон Ома и т.д. - все это математические модели реальных физических явлений. Когда же изучают динамические процессы, то математической моделью обычно является система дифференциальных уравнений (т.е. уравнений, содержащих производные), т.к. именно производные отражают изменение интересующих нас величин.

Математическое моделирование какого-либо процесса возможно, когда достаточно хорошо изучены его физические и биологические закономерности. Но перечень таких процессов в живом организме пока еще не велик. Внедрение компьютеров расширило возможности математического моделирования в медицине, т.к. стало возможным моделирование более сложных систем. Ценность метода состоит в том, что, во-первых, математическое моделирование позволяет исследовать поведение биологической системы в таких условиях, которые трудно создать в эксперименте или клинике, причем без существенных материальных затрат, во-вторых, уменьшается время исследования, т.к. на компьютере можно “разыграть” огромное число вариантов опыта, и, в-третьих, математическая модель облегчает решение задач по лечению болезней, т.к. позволяет очень быстро, в считанные секунды, ответить на вопросы, возникающие при лечении.

Этапы математического моделирования

Можно выделить три этапа при изучении явления с помощью математического моделирования.

1этап: создание основы математической модели. При этом нужно:

а) накопить экспериментальные данные о процессах в изучаемой системе; б) составить уравнение или систему уравнений, описывающих

закономерную связь данных.

2 этап: проверка и корректировка модели. При этом необходимо:

а) определить численные значения коэффициентов и задать начальные условия;

б) решить систему уравнений; в) сравнить полученное решение с данными эксперимента, выявить

несоответствия, выяснить их причины; г) ввести поправки в математическую модель.

3 этап: исследование математической модели, т.е. использование ее в практических целях. Конечной целью этого этапа является получение новой информации об исследуемом объекте.

Термин “моделирование” имеет двойной смысл: моделирование как процесс создания модели, и моделирование как воспроизведение поведения объекта на уже имеющейся модели. Очевидно, что первые два этапа соответствуют первому смыслу, а третий - второму.

2. Математическая модель Лоттки-Вольтерра

Впервые в биологии математическая модель периодического изменения числа особей антагонистических видов животных предложил итальянский математик В. Вольтерра с сотрудниками. Модель, предложенная Вольтерра, явилась развитием идеи, намеченной в 1924 году А. Лоттки в книге “Элементы физической биологии”. Поэтому данная классическая модель известна как “модель Лоттки-Вольтерра”. Хотя в природе взаимоотношения антагонистических видов более сложные, чем в данной модели, тем не менее, она является хорошим примером, на котором можно изучать основы математического моделирования.

Итак, формулируем кратко задачу. В некотором, экологически замкнутом районе, живут два вида животных (например, рыси и зайцы). Зайцы (жертвы) питаются растительной пищей, имеющейся всегда в достаточном количестве (в рамках данной модели не учитывается ограниченность ресурсов растительной пищи). Рыси (хищники) могут питаться только зайцами. Необходимо определить, как будет меняться численность жертв и хищников с течением времени в такой экологической системе. Теперь можно приступать к составлению дифференциальных уравнений.

Обозначим число жертв через N, а число хищников через M. Числа N и M являются функциями времени t. В нашей модели учтем следующие факторы:

-естественное размножение жертв;

-естественная гибель жертв;

-уничтожение жертв за счет поедания их хищниками;

-естественное вымирание хищников;

-увеличение числа хищников за счет размножения при наличии пищи.

Так как речь идет о математической модели, то задачей является получение уравнений, в которые бы входили все намеченные факторы и которые описывали бы динамику, т.е. изменение числа хищников и жертв со временем.

Пусть за некоторое время ∆t количество жертв и хищников изменится на ∆N и ∆М. Изменение числа жертв ∆N1 за время ∆t определяется, вопервых, увеличением в результате естественного размножения (которое пропорционально количеству жертв):

∆N1=АN∆t (1),

где А - коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость размножения жертв в данных условиях.

Во-вторых, имеет место уменьшение числа жертв из-за естественного вымирания, тоже пропорциональное их первоначальному количеству:

∆N2= – ВN∆t (2),

где В - коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость вымирания жертв. Знак минус отражает именно уменьшение.

В основе вывода уравнения, описывающего уменьшение числа жертв из-за поедания их хищниками, лежит идея о том, что чем чаще происходят их встречи, тем быстрее уменьшается число жертв. Ясно также, что частота встреч хищника с жертвой пропорциональна и числу жертв, и числу хищников, т.е. их произведению МN. Поэтому можно записать:

∆N3= – CМN∆t (3),

здесь коэффициент С характеризует частоту встреч жертвы с хищником.

В итоге с учетом всех трех факторов изменения числа жертв можно записать следующее уравнение:

∆N=АN∆t – BN∆t – CMN∆t (4).

Поделив левую и правую часть уравнения (4) на ∆t и перейдя к пределу при ∆t→0, получим дифференциальное уравнение первого порядка:

dN/dt =AN – BN – CMN (5).

Отметим, что левая часть уравнения является по смыслу “скоростью изменения числа жертв”, так как определяется как “изменение числа жертв ∆N за единицу времени ∆t. Для того чтобы решить это уравнение, нужно знать, как меняется число хищников М со временем.

Изменение числа хищников ∆M1 вследствие естественного размножения при наличии достаточного количества пищи зависит от частоты встреч хищников и жертв:

∆М1=QNM∆t (6),

где Q - коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость размножения хищников.

Кроме того, изменение числа хищников зависит и от их естественного вымирания:

∆М2= – PM∆t (7),

где Р - коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость вымирания хищников.

В итоге можно записать следующее уравнение для изменения численности хищников:

∆М=QNM∆t - PM∆t (8).

Из уравнения (8) получается второе дифференциальное уравнение:

dM/dt =QNM - PM (9).

Дифференциальные уравнения 5 и 9 представляют собой математическую модель “хищники - жертвы”. Достаточно определить значения коэффициентов А, В, С, Q, P и математическую модель можно использовать для решения поставленной задачи.

4. Проверка и корректировка математической модели

Для того чтобы убедиться в надежности и правильности модели, необходимо сравнить полученные из уравнений решения с имеющимися экспериментальными данными. В нашем случае воспользуемся известным примером колебаний численности североамериканского зайца и рыси в Канаде за 1845 - 1930 годах (см. рисунок ниже).

N, M

N

M

t

Приведенный график будет служить критерием правильности нашей математической модели.

В данной лабораторной работе предлагается кроме просчета наиболее полной математической модели (уравнения 5 и 9), исследовать более простые, в которых что-либо не учитывается. Рассмотрев 5 уровней сложности математической модели, можно “почувствовать” этап проверки и корректировки модели.

1 уровень - в модели учтено только естественное размножение “жертв”. Хищники отсутствуют.

2 уровень - в модели учтено только естественное вымирание “жертв “. Хищники отсутствуют.

3 уровень - в модели учтены естественное размножение и вымирание “жертв”. Хищники отсутствуют.

4 уровень - в модели учтены “жертв” естественное размножение и вымирание “жертв”, а так же их поедание “хищниками”, но число “хищников” считается неизменным.

5 уровень - в модели учтены все обсуждавшиеся в пункте 3 факторы.