Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

Метрология, стандартизация и сертификация

Файл:

Обработка Результатов Измерений

.pdf

Скачиваний:

149

Добавлен:

12.08.2013

Размер:

728.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

•Вычисляем приращения функции по её аргументам

∆ F

F(m + ∆

m, R,v) −

F(m, R,v)

(0.31+ 0.006) 302

− 2683

= 51.6 Н

0.104

∆ Fm =

F(m, R +

∆

R,v) −

F(m, R,v)

0.31 302

− 2683

= 123 Н

0.104 + 0.005

∆ F

F(m, R,v +

∆ v) −

F(m, R,v)

0.31 (30+ 1)2

− 2683

= 182 Н.

0.104

•Вычисляем полную погрешность абсолютную

∆ F = ∆ Fm 2 + ∆ FR 2 + ∆ Fv 2 =

= 51.6 2 + 1232 + 1822 = 226 Н ≈ 0.2 кН

относительную

δ F = ∆FF = 0.22.7 = 7%

•После округления записываем результат косвенных измерений

F = 2.7 ± 0.2 кН ,

δF = 7% .

3. Алгоритм, использующий сложение абсолютных величин погрешностей

•Вычисляем среднее значение силы

. F =	m v 2	=	0.31 30	2	= 2683 Н ≈ 2.68 кН
	R		0.104

• Вычисляем относительные погрешности аргументов

δ m =	∆ m	=	6		=	0.019	≈ 2%
	m		310

δ R =	∆ R	=	5		=	0.048 ≈		5%
	R		104

δ v =	∆ v	=	1	=	0.033 ≈			3%
	v		30

• Вычисляем относительную погрешность функции по формулам приложения 2

δ F = δ m + δ R + 2 δ v = 2 + 5 + 2 3 = 13%

•Вычисляем абсолютную погрешность функции

∆ F = F δ F = 2.68 0.13 = 0.349 Н

•После округления записываем результат косвенных измерений

F= 2.7± 0.3 кН ,

δ F = 11% .

Пример 5.4. Обработка результатов косвенных измерений.

В этом примере сравним трудоемкость вычисления погрешностей косвенных измерений по двум алгоритмам. Рассмотрим случая сложной функциональной зависимости измеряемой величины от аргументов.

Пусть прямыми измерениями найдены значения элементов последовательного колебательного контура. Активного сопротивления R = 10 ± 1Ом . Ин-

дуктивности L = 30.0 ± 1.5 мГ . Емкости C =	100 ± 2 мкФ . В контуре возбу-
ждены вынужденные колебания на частоте ω	= 1000 рад c . Амплитуда ис-

точника ЭДС Ε = 10 В . Связь между амплитудой тока и параметрами элемен-

тов контура определяется соотношением:				Ε
I (R, L,C) =				Ε		.
I (R, L,C) =						.
R	2			L −	1		2
		+	ω
		+	ω		ω
					ω	C
Амплитуда ЭДС Ε и частота ω		измерены с большой точностью и могут

рассматриваться как константы.

1. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам

•Вычисляем среднее значение тока

I ( R ,	L , C ) =								Ε					=
I ( R ,	L , C ) =													=
						2						1		2
					R		+		ω L −
					R		+		ω L −
											ω		C
											ω		C		.
					10										.
=					10								=	0.447 А

					− 3				1			2
102	+	103	30	10		−
102	+	103	30	10		−		3		− 6
						10		3	100 10	− 6
						10			100 10

•Вычисляем приращения функции

∆ I R = I (R + ∆ R,,C) − I (R, L,C) =

=				10						− 0.447	= 0.0091 А = 9.1мА

	2		3		− 3			1	2
	(10+ 1)	+	10	30 10		−
	(10+ 1)	+	10	30 10		−	103
							103	100 10− 6

∆ I L = I (R, L + ∆ L,C) − I (R, L,C) =

=									10										− 0.447		= 0.025 А =	25 мА


			2			3				− 3				1			2
		10		+	10		(30+ 1.5) 10					−
		10		+	10		(30+ 1.5) 10					−
												10	3	100 10 − 6
	∆ IC = I (R, L,C + ∆ C) − I (R, L,C)														=
	∆ IC = I (R, L,C + ∆ C) − I (R, L,C)														=
=									10									− 0.447		= 0.0035 А =		3.5 мА
									10


			2			3		− 3					1			2
		10		+	10		30 10		−
		10		+	10		30 10		−		3 (100+			2) 10− 6
									10		3 (100+			2) 10− 6

•Вычисляем полную погрешность абсолютную

∆ I = ∆ I R	2 + ∆ I L	2 + ∆	IC	2	=		9.12 +			252 + 3.52 = 26.8 ≈ 30 мА
относительную
		δ I	=	∆	I	=		30	=	7%
		δ I	=		I	=	450		=	7%
					I		450

•После округления записываем результат косвенных измерений

I = 450 ± 30 мА ,

δ F = 7% .

2.Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам

•Вычисляем среднее значение тока.

•Вычисляем производные функции

∂ I

− Ε

∂ R

−

∂ I

− Ε ω

L −

∂ L

−

L −

∂ I

∂ C

ω C

L −

2 3

•Вычисляем значения производных от средних значений аргументов

∂ I	=													− 10 10																							=		8.9 10 − 3						А
∂ R
																		−							1						2				3										Ом
																																			3										Ом
							2				3								3
				10				+		10			30		10					−
				10				+		10			30		10					−
																						103 10− 4

											3							−	3						1
∂ I					− 10					10			30		10					−
					− 10					10			30		10					−
	=																				103 10 − 4															=			− 17.9			А
∂ L	=																								1					2			3			=			− 17.9			Г
∂ L							2				3							− 3							1					2
				10				+		10			30 10							−
				10				+		10			30 10							−	10			3	10		− 4
																					10				10
																3							− 3						1
∂ I										− 10 10							30 10								−
										− 10 10							30 10								−				10 −
		=																							103				10 −					4									=	− 1790		А
∂ C		=																																	1					2	3		=	− 1790		Ф
∂ C					3				− 8					2						3						−	3								1					2
			10			10						10			+ 10						30 10							−
			10			10						10			+ 10						30 10							−	10			3			10			− 4
																													10						10

•Вычисляем составляющие погрешности функции

∆ I R

∂ I

∆ R =

8.94 10

− 3 1 =

8.94 10− 3 А ≈ 8.9 мА

∂ R

∆ I L

∂ I

∆ L =

17.9 1.5

10− 3

26.8 10− 3 А ≈

27 мА

∂ L

∆ IC

∂ I

∆ C =

1790 2

10− 6 =

3.58 10− 3 А ≈

3.6 мА

∂ C

•Вычисляем полную погрешность абсолютную

∆ I = ∆ I R	2 + ∆ I L	2 + ∆ IC	2	= =	8.92 + 272 + 3.62 = 29 ≈ 30 мА
относительную					∆ I
		δ I		=	∆ I	=	30	= 7%
		δ I		=	I	=	450	= 7%
					I		450

•После округления записываем результат косвенных измерений

I = 450 ± 30 мА ,

δ F = 7% .

Пример 5.5. Обработка результатов косвенных измерений.

В этом примере рассмотрим влияние статистической связи погрешностей аргументов на результат косвенных измерений их функции.

Источник ЭДС постоянного тока с некоторым внутренним сопротивлением нагружен на согласованную по мощности активную нагрузку (нагрузка называется согласованной, если в ней выделяется максимальная мощность, в этом случае сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС).

Прямыми измерениями найдены N=10 значений тока I и напряжения U на нагрузке. Инструментальная погрешность измерения тока ∆ Ia=0.005 А, напряжения - ∆ Ua=0.05 В. Надежность оценок тока и напряжения должна составлять 95%. Необходимо с помощью косвенных измерений определить мощность P, потребляемую от источника. По закону Джоуля - Ленца P = I U .

Известно, что основной причиной разброса измеренных значений тока и напряжения является нестабильность источника, приводящая к случайным изменениям его ЭДС и внутреннего сопротивления. Следовательно, изменения тока и напряжения на нагрузке будут статистически связанными (коррелированными), так как порождаются одной и той же причиной. В этом случае

суммирование погрешностей тока и напряжения необходимо производить не квадратически, а по абсолютной величине.

Рассмотрим порядок вычислений мощности.

•Для заданной доверительной вероятности α = 95% и количества отсчетов

N = 10 определяем коэффициент доверия 2.3 (приложение 1.)

				• Вычисляем среднее значение тока и напряжения
№	I, А	U, В				N
						∑	In
1	0.265	6.55			I =	∑	In					I	=
						n= 1								0.236 А.
2	0.255	6.40				n= 1								0.236 А.
2	0.255	6.40					N
3	0.225	5.60					∑N	U n

4	0.245	6.20			U =							U =
							n= 1							5.92 В.
5	0.235	5.95					n= 1							5.92 В.
5	0.235	5.95					N
6	0.210	5.20		• Вычисляем среднее квадратическое отклонение
				• Вычисляем среднее квадратическое отклонение
7	0.260	6.55		тока и напряжения
									∑N
8	0.240	6.00								(In −	<	I	> )2
9	0.210	5.30					SI	=		(In −	<	I	> )2
9	0.210	5.30							n= 1	N −
												1
10	0.215	5.40										1
				∑N					SI = 0.021 А.
									SI = 0.021 А.
		SU			(U n − < U > )2					SU =
			=	n= 1							0.51 В.
			=		N	−	1				0.51 В.
					N	−	1

•Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения

		∑N	(In − < I > ) (U n − < U > )
r	=	n= 1			r	= 0.995
r	=				r	= 0.995
IU			(N −		IU
			(N −	1) SI SU

Согласно данным приложения 4 при N=10 вероятность того, что ток и напряжение на нагрузке некоррелированы равна нулю. Следовательно, экспериментальные данные указывают на связь между погрешностью тока и напряжения.

•Вычисляем случайную составляющую погрешности тока и напряжения

S I =	SI	=	0.021	= 0.0066 А, S U =	SU	=	0.51	= 0.16 В,
	N		10		N		10

				26

∆	I =	t95;10	S I	= 2.3 0.066 =	0.015 А
∆	U =	t95;10	S U	= 2.3 0.16 =	0.37 В

•Вычисляем полную погрешность

абсолютную	∆ I	=	∆	I	=	0.015 А
	∆ U =		∆		U	=	0.37 В,
относительную	δ I	=	∆ I		=		0.015		=		6%
			I				0.24

	δ U	=	∆	U		=		0.37		=	6%
			U				5.9

•После округлений получаем результаты измерения тока и напряжения

I =	240 ±	20 мА	δ	=	6%	α	=	95%
U =	5.9 ±	0.4 В	δ	=	6%	α	=	95%

•Вычисляем среднее значение мощности

P = I U = 0.24 5.9 = 1.4 Вт .

•Вычисляем относительную погрешность измерения мощности

δ P = δ I + δ U = 6 + 6 = 12% .

•Вычисляем абсолютную погрешность измерения мощности

∆ P = P δ P = 1.4 0.12 = 0.17 Вт .

•Результат косвенных измерений мощности

P = 1.4 ± 0.2 Вт .

δ P = 12% .

При квадратическом суммировании погрешностей корреляция между отсчетами прямых измерений не учитывается. Это может привести к занижению погрешности косвенных измерений, что равноценно уменьшению надежности косвенных измерений. Иногда уменьшение погрешности может достигнуть такой величины, при которой доверительный интервал не будет покрывать истинное значение. В данном случае при квадратическом суммировании погрешностей измерения тока и напряжения получаем

∆ P = ( U ∆ I) 2 + ( I ∆ U) 2 =

= (5.9 0.015) 2 + ( 0.24 0.4) 2 = 0.13 Вт

P = 1.4 ± 0.1Вт . .δ P = 7%

В рассмотренной задаче истинное значение мощности

P = 1.44 Вт .

Для сравнения рассмотрим ту же измерительную задачу, но в условиях, при которых разброс отсчетов тока и напряжения обусловлен большим числом не доминирующих факторов. В этом случае погрешности отсчетов тока и напря-

жения статистически не связаны.
• Для заданной доверительной вероятности α								= 95% и количества отсчетов
				N =	10	определяем			коэффициент		доверия
	№	I, А	U, В	N =	10	определяем			коэффициент		доверия
	№	I, А	U, В	t95;10 = 2.3 .			Вычисляем среднее значение тока и

1		0.290	5.55
1		0.290	5.55	напряжения
				напряжения
	2	0.285	5.30		I	=	0.251 А.		U	= 5.92 В.
	3	0.285	5.55	•	Вычисляем			среднее		квадратическое

4		0.275	5.05
4		0.275	5.05	отклонение тока и напряжения
					SI	=	0.036 А ,
	5	0.190	4.30		SI	=	0.036 А ,

	6	0.245	6.05		SU	=	1.08 В .
					SU	=	1.08 В .
	7	0.220	5.90	• Вычисляем коэффициент корреляции тока и

8		0.275	6.55
8		0.275	6.55	напряжения				rIU = 0.111 .

	9	0.230	8.20

	10	0.210	6.80		Согласно прил. 4. при данном числе измерений

вероятность того, что погрешности тока и напряжения на нагрузке не связаны между собой, равна 78%. Следовательно, экспериментальные данные свидетельствуют об

отсутствии связи между погрешностями тока и напряжения.

•Проверяем отсчеты на наличие промахов.

Аномальным отсчетом является отсчет напряжения №9. Вычисляем нор-

мированное отклонение U 9 от среднего значения z = 2.114 .

Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 14.(приложение 3). Это число больше, чем N = 10 . Следовательно,

отсчет U 9 = 8.2В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. Новый ряд имеет N = 9 отсчетов и t95;9 = 2.3

•Вычисляем новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение

U = 5.67 В. SU = 0.76 В.

•Вычисляем случайную составляющую погрешности

S I	= 0.012 А,	∆	I	=	0.028 А
S U	= 0.76 В,	∆	U	=	0.18 В

•Вычисляем полную абсолютную и относительную погрешность

∆ I =	0.03 А,	∆ U =	0.4 В,
äU =	12%	δ U =	7%

•Результат прямых измерений тока и напряжения

I = 0.25 ±	0.03 А	δ	=	12%	α	= 95%
U = 5.7 ±	0.4 В	δ	=	7%	α	= 95%

•Вычисляем среднее значение мощности

P= 1.43 Вт .

•Вычисляем относительную погрешность измерения мощности при квадратичном суммировании погрешностей измерения тока и напряжения

∆ P = ( U ∆ I)2 + ( I ∆ U)2 = (5.7 0.03) 2 + ( 0.25 0.4) 2 = 0.2 Вт ,

P = 1.4 ± 0.2 Вт . δ P = 14% .

При отсутствии корреляции между аргументами суммирование их погрешностей по абсолютной величине приведет к завышению погрешности косвенных измерений функции и к расширению доверительного интервала, т.е. к повышению надежности измерений. Такая завышенная оценка погрешности допустима. В данном случае

δ P = δ I + δ U = 12 + 7 = 19% .

∆ P = P δ P = 1.4 0.19 = 0.3 Вт .

P = 1.4 ± 0.3 Вт .

δ P = 21% .

Пример 5.6. (комплексный). Экспериментальная проверка закона инерции.

Для проверки законов инерции произведено измерение центробежной силы инерции, действующей на тело при его равномерном вращении. Тело массой m было установлено на равномерно вращающейся платформе на расстоянии R от оси вращения. Линейная скорость v тела измерялась тахометром (прибором для измерения угловой скорости), шкала которого проградуирована в единицах линейной скорости. Точность отсчета скорости составляла 0.5м/с. Радиус

вращения тела измерялся линейкой с ценой деления 1 мм. Масса тела измерялась весами, погрешность которых 1 г. Центробежная сила

F = m v2 . R

Независимо, центробежная сила инерции была измерена с помощью дина-

мометра с ценой деления 10 Н.				Измерения массы, радиуса вращения, скорости
тела и силы повторены 6 раз. Результаты представлены в таблице

	№	Масса	Радиус	Скорость	Сила
	отсчета	m, г	R, мм	v, м/с	F, Н

	1	315	99	30.0	2710

	2	313	103	30.0	2210

	3	305	111	30.0	1940

	4	352	104	29.5	2490

	5	306	105	28.5	2760

	6	313	104	31.0	2680

Обработка прямых измерений массы

Инструментальная погрешность ∆ a =			1г.
Число отсчетов	N =	6
Доверительная вероятность	α =	95%
Коэффициент доверия	t95;6	=	2.6
• Вычисляем среднее значение	m =
	m =		317 г

•Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов

Sm = 17.5 г

•Проверяем отсчеты на наличие промахов.

Аномальным отсчетом является отсчет №4. Вычисляем нормированное от-

клонение m4 от среднего значения

z =	352 − 317	= 1.98 .
	17.5

Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 10 (приложение 3). Это число больше, чем N = 6 . Следовательно,

отсчет m4 = 352 г промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда.

•Вычисляем среднее значение

m = 310 г							Новый ряд
							отсчетов
• Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсче-							массы
тов							N = 5
Sm = 4.6 г							t95;5 = 2.8
• Вычисляем случайную составляющую погрешности							№	m, г

							1	315
S m =	4.6		=	2.0		г	1	315
	4.6
		5					2	313
		5					2	313

∆ m =	2.8 2 =			5.6 г			3	305
				5.6 г
							4	306
• Вычисляем полную погрешность							4	306

						(т.к. ∆ m > 3 ∆ a ) ,	5	313
абсолютную ∆ m =	5.6 ≈		6 г				5	313
			6 г
			6
относительную δ	m =				=	2% .

		310
		310

•Результат прямого измерения массы представляем в виде:

	m = 310 ± 6 г	δ = 2%		α	= 95%	Отсчеты
	Обработка прямых измерений радиуса вращения					радиуса
	Обработка прямых измерений радиуса вращения					№	R, мм

Инструментальная погрешность ∆ a			=	0.5 мм

						1	99
Число отсчетов		N =		6
Число отсчетов		N =		6		2	103
Доверительная вероятность		α	=	95%		2	103

						3	111
Коэффициент доверия		t95;6		=	2.6	3	111
					2.6
						4	104
• Вычисляем среднее значение						4	104
• Вычисляем среднее значение
	R =	104 ··				5	105

• Вычисляем среднее квадратическое отклонение						6	104
• Вычисляем среднее квадратическое отклонение
	SR =	3.9 мм
	SR =	3.9 мм

•Аномальные отсчеты отсутствуют.

•Вычисляем случайную составляющую погрешности

S R	=	3.9	= 1.6 мм	∆ R = 2.6 1.6 = 4.2 мм
		6

•Вычисляем полную погрешность

абсолютную ∆ R =	4.2 ≈			4 мм (т.к. ∆ R > 3 ∆ a )
относительнуюδ R	=		4	= 4%
		104

•После округлений результат прямого измерения массы запишем в виде:

R = 104 ± 4 мм δ = 4% α = 95%

Обработка прямых измерений скорости вращения

Инструментальная погрешность ∆ a = 0.5 мс

Число отсчетов	N =	6
Доверительная вероятность	α =	95%
Коэффициент доверия	t95;6	= 2.6

•Вычисляем среднее значение

v= 29.8 мс

•Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов

Sv = 0.82 мс

•Проверяем отсчеты на наличие промахов.

Аномальным отсчетом является отсчет №5. Вычисляем

нормированное отклонение v5 от среднего значения

z =		28.5 − 29.8	= 1.63 .
		28.5 − 29.8

	0.82
	0.82

Отсчеты

скорости

№V, м/с

130

230

330

429.5

528.5

631

Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 5. Это число не больше количества измерений N = 6 . Следователь-

но, отсчет v5 = 28.5 мс нельзя считать промахом.

•Вычисляем случайную составляющую погрешности

S v	=	0.82	= 0.33 м с	∆ v = 2.6 0.33 = 0.86 м с
		6

• Вычисляем полную погрешность
абсолютную ∆ v = 0.862 + 0.52 = 1м с относительнуюδ v =	1	= 3%
абсолютную ∆ v = 0.862 + 0.52 = 1м с относительнуюδ v =	29.8	= 3%
	29.8

•После округлений результат прямого измерения массы представляем как

v = 30 ± 1мс δ = 3% α = 95%

Обработка косвенных измерений центробежной силы

•Вычисляем среднее значение силы

F =

0.31 302

2683 Н ≈

2.68 кН

Отсчеты

0.104

силы

• Находим относительную погрешность по формулам таблицы 2.

№

F, Н

δ F = 2 + 4 + 2 3 = 12%

2710

•

Находим абсолютную погрешность

2210

∆ F = 2.68 0.12 =

0.32 кН

1940

• После округлений результат косвенного измерения силы пред-

2490

ставляем в виде:

F = 2.7 ± 0.3 кН

ä =

12%

á = 95%

2760

Обработка прямых измерений центробежной силы

2680

Инструментальная погрешность ∆

= 10Н

Число отсчетов

N =

Доверительная вероятность

95%

Коэффициент доверия

t95;6

2.6

•

Вычисляем среднее значение

2465 Н .

• Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов

327 Н .

•Проверяем отсчеты на наличие промахов.

Аномальным отсчетом является отсчет №3. Вычисляем нормированное от-

клонение v3 от среднего значения

z = 1940− 2465 = 1.61. 327

но, отсчет v3 = 1940Н нельзя считать промахом.

•Вычисляем случайную составляющую погрешности

S F = 3276 = 133Н

∆ F = 2.6 133 = 346 Н

•Полная погрешность

абсолютная ∆ F = 346Н ≈ 0.3 кН

относительная δ F = 2465346 = 14% .

•После округлений результат прямого измерения массы представляем как

F = 2.5 ± 0.3 кН δ = 14% α = 95%

На рис.8 видно, что доверительные интервалы прямых и косвенных измерений центробежной силы перекрываются. Следовательно, экспериментальные данные с вероятностью 95% не противоречат формуле

	F =	m v2
	F =	R
		R
			Среднее значение
Доверительный интервал (0.6 êÍ)				F=2.5 êÍ,
прямых измерений центробежной силы			полученное при
				прямых
				измерениях

F,êÍ

Среднее значение


F=2.7 êÍ,
полученное при			Доверительный интервал (0.6 êÍ)
косвенных			косвенных измерений центробежной силы
измерениях
измерениях

Рис.8. Результаты обработки экспериментальных данных

6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ

6.1. Определения основных понятий

Допустим, что проведено N наблюдений некоторой физической величины. Из-за случайных ошибок отдельные отсчеты x1 , x2 ,..., xN неодинаковы.

Будем считать, что интересующее нас событие произошло, если отсчетξ попал в заданный интервал [a,b) .

Вероятность P события попадания случайной величины в некоторый

интервал [a,b) называется предел,	к которому стремится отношение числа m
наступления этого события к числу	N всех наблюдений, если число наблюде-
ний стремится к бесконечности:
P(a ≤ξ	< b) = lim	m	.

	N →∞	N

В теории вероятностей математическая характеристика случайных величин

основывается на			понятии		распределение вероятности F(x) ,					которое
является функцией числового аргумента							x и определяет		вероятность того, что
значение ξ	некоторой случайной величины лежит в интервале [ −∞ , x) :
			F(x) = P(−∞ ≤ ξ<					x).
	F(−∞ )= 0; F∞( =)					1; F(≤a)		F(b) ‰›р ≤a b.
Распределение			вероятностей			позволяет		найти	вероятность	того,
чтоξ [a,b)
			P(a ≤ξ < b) = F(b)− F(a).
В частности,		вероятность того, что значениеξ непрерывной случайной
величины принадлежит				бесконечно малому интервалу					[ x, x + dx)	можно
выразить как
			P(x ≤ξ < x+ dx)=				f (x)dx.
Функция	f (x) =		dF(x)		называется		плотностью вероятности.
			dx

Основное свойство плотности вероятности состоит в том, что

+∞
∫	(x)dx = 1.
f	(x)dx = 1.
− ∞

Серию из N отсчетов измеряемой величины можно наглядно представить,
построив гистограмму диаграмму, которая показывает, как часто встреча-
ются те или иные отсчеты. Гистограмму строят следующим образом. Весь
			диапазон наблюдаемых							значе-
f (x)			ний		разбивают на			K равных
			интервалов				(интервалов
Hk			классификации)							длиной
Hk			∆ x и подсчитывают, сколько
			отсчетов попало в каждый ин-
	k		тервал. По оси абсцисс откла-
		x	дывают границы интервалов, а
	∆ x	x	по оси ординат - относитель-
	∆ x		ную частоту попадания отсче-
	Рис. 9. Гистограмма		тов в интервалы, деленную на
	Рис. 9. Гистограмма		его			длину,	т.е.	величину
			H	k	=	mk	, где m			число
				k		N∆ x	k
						N∆ x
отсчетов, попавших в k-й интервал. На интервалах, как на основаниях строят
прямоугольники высотой Hk (рис.1). При			N → ∞			площадь каждого прямо-
угольника будет стремиться к вероятности попадания отсчета в соответствую-
щий интервал классификации. Если одновременно устремить длину интервала
к нулю ( ∆ x →	0 , но так, что в любой бесконечно малый интервал попадает
бесконечно много отсчетов), то гистограмма превратится в график плотности
вероятности.
Плотность	вероятности характеризуется набором параметров							моментов
распределения, два из которых в теории погрешностей имеют главное значе-
ние.
Математическое ожидание µ			это число, в окрестности						которого
концентрируются значения случайной величины:

			∞
	µ	=	∫
	µ	=	xf (x)dx .
			−∞
Дисперсия σ 2 это число,			которое характеризует	степень рассеяния
значений случайной величины вокруг ее математического ожидания:
σ	2 =	∞	( x− µ ) 2 f (x)dx .
		∫
Величинаσ называется		−∞
Величинаσ называется	средним (стандартным)			квадратическим

отклонением.

6.2. Нормальное распределение

В основе теории погрешностей лежат три предположения, подтвержденные

опытом:

Дисперсия

Отклонения

наблюдае-

мых значений от истинно-

σ 1

2 < σ 3

2 <

σ 3

f(x)

го

значения

принимают

непрерывный ряд.

Погрешности,

имею-

щие одинаковые абсолют-

ные значения, но разные

знаки

встречаются

одина-

ково часто.

Чем

больше

значение

погрешности, тем реже оно

встречается.

математическое

Из этих предположений

следует,

что

распре-

ожидание

Рис. 10. Плотность вероятности

деление

вероятности

от-

счетов измеряемой величи-

нормального распределения

ны подчиняется, так назы-

ваемому,

нормальному

распределению (закону распределения Гаусса),

плотность вероятности кото-

рого

f(x)

(a2 σ )2

(a1 σ )2

(x) =

e−

( x−

µ )2

σ 2

2σ 2

a2 < 1

a1 >

2πσ

µ = const,σ =

const.

Можно показать,

что

это математическое

			ожидание, а σ 2			дис-
			персия.	Вид	плотности
			распределения		для	раз-
µ	a2 µ + b2 a1 µ + b1	x	личных	значений		дис-
			персии показан на рис.10.

Рис. 11. Изменение плотности вероятности			Приведем без доказатель-
			ства важные		свойства
при линейном преобразовании нормально

	распределенной случайной величины	нормального распределе-
	распределенной случайной величины	ния.
		ния.

Еслиξ

имеет

нормальное

распределение

f (x µ σ,

)

(математическое

ожиданием µ

и дисперсия σ 2 ), то η

= aξ +

b , ( a и b детерминированные

величины)

имеет нормальное распределение (рис.11)

f (x aµ + b,aσ ) .

σ 12

σ 22

Если ξ 1

и ξ 2 нормально рас-

f(x)

пределены с плотностями веро-

ятности

σ 12 + σ 22

f (x µ 1σ, 1 ) , f (x µ 2σ, 2 ) ,

то η = ξ

2 имеет нор-

мальное распределение с плот-

ностью

(рис.12)

µ 2

1 + µ 2

f (x µ 1 + µ 2 ,σ 12+σ

22 ) .

Связь

плотности

распреде-

Рис. 12. Изменение плотности вероятности

ления и распределения вероят-

при сложении нормально распределенных

ности показана на

рис.13., а

случайных величин

его вид

на рис.14.

f(x)

F ( x 0 ) = P ( x ≤ x 0 )

Рис. 13. Связь распределения с

его

плотностью

F(x)

F(x0)

Рис. 14. Нормальное распределение

7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЗАКОНА ГУАССА

7.1. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Пусть истинное значение измеряемой величины - X , а x1 , x2 ,..., xN - ряд

её отсчетов. Пусть наблюдаемые значения имеют нормальное распределение с математическим ожиданием µ , совпадающим с истинным значением, и неко-

торой дисперсией σ 2 . Вероятность того, что все отсчеты попадут в бесконеч-

но малый интервал [ x −	δ	, x+ δ		)	по теореме умножения вероятностей рав-
	2		2

на произведению вероятностей того, что каждый отсчет попадет в этот интервал:

N		1
P( X ,σ ) = ∏	[ f (xn )δ ]=			exp−	∑ ( x−n	X) 2 ( 2σ 2 )	δ N
		( 2πσ )	N
n=	1

Чем больше P , тем с большей вероятность наблюдаемые значения груп-

пируются вокруг истинного значения. Функция δ N с аргументами X , σ

называется правдоподобием эксперимента.

Найдем, при какой связи X ,σ 2 с отсчетами x1 , x2 ,..., xN правдоподо-

бие максимально. При исследовании функции на экстремум удобно использовать не саму функцию, а ее логарифм.

L = ln( P δ N )= −		( N / 2) ln(2π −)				N lnσ(− ) ∑N		(− xn	X) 2 (σ2 2 ) .
При фиксированном значении σ							n=	1
При фиксированном значении σ					максимум L достигается при
	∂ L		= 0 ,		т.е.		∑N ( xn − X)=		0 .
			= 0 ,		т.е.		∑N ( xn − X)=		0 .
	∂	X					n= 1
Из последнего уравнения находим
				∑N	xn
			X =	n=	1	=<	>x .
			X =		N	=<	>x .
					N

Следовательно, выборочное среднее значение есть максимально прав-

доподобная оценка истинного значения измеряемой величины.

При фиксированном аргументе X значение								σ ,		дающее максимум L ,
можно найти из уравнения:
∂ L						N			∑N	( xn − X) 2
∂ L	= 0	,	или		−	N	+		n= 1		= 0 .
∂σ	= 0	,	или		−	σ	+			σ 3	= 0 .
∂σ						σ				σ 3
Тогда
				∑N	( xn −	X) 2
		σ	=	n=	1			.
		σ	=		N			.
					N

Следовательно, максимально правдоподобная оценка стандарт-

ного квадратического отклонения равна выборочному среднему квадратическому отклонению отсчетов от истинного значения.

Так как в процессе измерений истинное значение неизвестно, то получен-

ная формула не пригодна для расчета погрешности. Выразим σ

через

∑N ( xn − X) 2 ∑ N ( xn − <

x> + <

> −x

X) 2∑

N ( xn − < x>

) 2

n= 1

=n 1

∑N

( xn − < x>

)

(

) 2

+ 2(< x> −

X )

x> −

+ <

В этом выражении второе слагаемое равно нулю. Рассмотрим третье слагаемое:

					N		−	X)	2
					∑	(xn	−	X)
(< x > − X) 2 =					n= 1					=
(< x > − X) 2 =						N 2				=
						N 2
	∑N (xn − X) 2					N N	(xn − X)( xm − X) .
=	n= 1			+		∑∑
=		N	2	+		∑∑
		N				n= 1 m=	1

Второе слагаемое полученного выражения равно нулю при N → ∞ , т.к. отклонения наблюдаемых значений от истинного встречаются с разными знаками одинаково часто. Следовательно

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Метрология, стандартизация и сертификация

#
11.08.20131.55 Mб253Медякова - Физические основы измерений. Письменные лекции - 2005.pdf
#
12.08.2013997.02 Кб98Метрология.pdf
#
11.08.20131.18 Mб91Мищенко - История метрологии, стандартизации, сертификации и управления качеством - 2004.pdf
#
11.08.2013989.18 Кб495Мокров - Метрология, стандартизация и сертификация - Учебник.doc
#
11.08.201310.99 Mб371Никитин, Бойко - Методы и средства измерений, испытаний и контроля - 2004.pdf
#
12.08.2013728.67 Кб149Обработка Результатов Измерений.pdf
#
11.08.20131.21 Mб126Олефирова - Подтверждение соответствия. Учебное пособие - 2007.pdf
#
11.08.2013727.29 Кб85Олефирова - Сертификация услуг. Учебное пособие - 2005.pdf
#
11.08.20131.03 Mб112Основы метрологии - Лекции.pdf
#
12.08.20131.23 Mб355Основы Теории Цепей.pdf
#
11.08.20131.78 Mб97Походун - Экспериментальные методы исследований. Погрешности и неопределенности измерений - 2006.pdf