elem_mat_copy
.pdfО п р е д е л е н и е 4: Говорят, что бинарная операция * на множестве А:
коммутативна, если выполняется условие А2,
ассоциативна, если выполняется условие А1`,
обладает нейтральным элементом (левым, правым), если выполняется А5 (A3, А4),
обратима (слева, справа), если выполняется А8 (А6, А7).
Пр и м е р 4. Исследовать свойства бинарной операции *, заданной на множестве Q по правилу:
a,b Q, а * b = а – ab + 1.
Ре ш е н и е:
1.Проверка условия выполнимости. Так как сумма, произведе-
ние, разность рациональных чисел являются рациональными числами, то результат операции а – ab + 1 есть рациональное число. Операция * выполнима на Q.
2.Проверка условия однозначности. Операции сложения,
умножения, вычитания рациональных чисел ― однозначны. Следовательно, и операция *, которая определяется через них, будет однозначной.
3.Проверка аксиомы ассоциативности. Возьмем любую
тройку элементов а, b, с из множества Q и проверим выполнимость равенства: (а * b) * с = а * (b * с). Раскрывая левую часть этого равенства, получаем:
(а * b) * с = (а – ab + 1) *c = (a – ab +1) – (a – ab + 1)с+1 = = a – аb – aс + abc – c + 2.
Раскрывая правую часть рассматриваемого равенства, получаем:
а * (b * с) = а * (b ― bc + 1) = а ― а(b ― bc + 1) + 1 = =1– ab + abc.
Результаты различны, поэтому операция * неассоциативна.
4.Проверка аксиомы коммутативности:
а, b Q, а * b = b * a.
Так как a * b = a – a b + 1 , b * a = b – ba + 1, то при а b
результаты различны. Итак, операция * некоммутативна.
5.Проверка наличия нейтральных элементов:
71
а) Из аксиомы A3 имеем: х * а = а или х – ха + 1 = а, откуда х = –1. Следовательно, существует левый нейтральный элемент е' =1.
б) Из аксиомы А4 имеем: а * х = а или а – ах + 1 = а, от-
куда = . Здесь х зависит от а. Следовательно, правого ней-
трального элемента нет.
в) Из пунктов а) и б) следует, что нейтрального (двухстороннего) элемента нет.
6.Проверка наличия симметричных элементов.
Для выполнения аксиом А6 и А7 необходимо наличие двухстороннего нейтрального элемента e относительно заданной операции. Так как такой элемент отсутствует, то операция * не обладает симметричными элементами.
Упражнения
1.Является ли операцией и какого ранга вычитание на множестве R? В случае положительного ответа перечислить основные свойства операции.
2.Исследовать свойства операции *, заданной на множестве R формулами:
а) а * b = (а + b)2; |
б) а * b = а2 +1; |
в) а * b = 2а + b –1; |
г) а * b = ab–a+b; |
д) а * b = ab; |
е) а * b = a2b–ab2. |
Практическое занятие №18
Зачетная контрольная работа
1.Доказать:
1)A\ B A (B A);
2)А \ (В С) = ((А \ В) \ С);
3)A \ (B \ C) = (A \ B) (A C);
4)А \ В = А \ (В А);
72
5)А \ (А \ В) = А В;
6)А (В \ С) = (А В) \ (А С);
7)А В = А (В \ А);
8)(А В) \ С = (А \ С) (В \ С);
9)( A В) А=A B;
10)(А \ В)\С = ( А\С ) \ (В\С).
2.Построить таблицу истинностных значений данных формул исчисления высказываний:
1) А & B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
A B C; |
|||||||||||||
|
B |
; |
|
|
|
); |
|
|
A& |
|
|
|
C; |
|||||||||||
2) A ( |
C |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
7) |
B |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В) |
|
C |
A; |
8) A B C |
||||||||||||||||||||
3) (А |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) А & B |
|
; |
|
|
9) |
A&(B |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C);; |
||||||||||||||||||
5) (A B)&(A |
|
|
C); |
10) A B |
|
|
. |
|||||||||||||||||
3.Построить |
отрицание следующих формул: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
x y((A(x) B(y) C(x));
x y((A(x) & B(y) C(x));
x y((A(x) B(y) C(x));
x y((A(x) B(y) & C(x));
x y((A(x) B(y) C(x));x y((A(x) B(y) &C(x));x y((A(x) B(y) &C(x));
8)x y((A(x) & B(y) &C(x));
9)x y((A(x) B(y) & B(y));
10)x y((A(x) &C(y) A(x)).
4.Какими свойствами обладает данное соответствие на множестве R?
1) f: R R, |
f: x kx + b; |
73
2) |
f: R R, |
f: x x3; |
||
3) |
f: R R, |
f: x |
x |
; |
4) |
f: R R, |
f: x |x|; |
||
5) |
f: R R, |
f: x sin x; |
||
6) |
f: R R, |
f: x cos x; |
||
7) |
f: R R, |
f: x tg x; |
||
8) |
f: R R, |
f: x ctg x; |
||
9) |
f: R R, |
f: x lg x; |
10) f: R R, |
f: x ax, a R. |
|||
5.Какими свойствами |
обладает данное отношение на |
|||
множестве R? |
); |
|||
2) |
( |
= |
||
1) |
( |
= |
; |
|
3) |
) |
; |
||
4) |
(| |
― |
| <; |
5) |
5 ) |
( |
> 0) |
; |
|
6 ) |
(2 |
= cos |
); |
|
|
( |
+1 > 0) |
7)(3 = 3 );
8) |
( + ) 2; |
9)( ― = 1);
10) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
6.Доказать |
методом математической индукции: |
|
|||||||||
|
(| |
| = |
| |) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
... ( 1)n 1 n2 |
( 1) |
n 1 |
n(n 1) |
|
|||
|
12 22 |
32 |
42 |
|
|
||||||
1) |
|
|
2 |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 2 2 3 ... n(n 1) |
n(n 1)(n 2) |
|
|
|||||||
2) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
... |
1 |
|
n |
|
|
|
|
(3n 2)(3n 1) |
3n 1; |
||||
3) 1 4 |
4 7 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(4n 3)(4n 1) |
2n 1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4) |
1 5 |
5 9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5) |
1 4 2 7 3 10 ... n(3n 1) n(n 1)2 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
12 32 52 ... (2n 1)2 |
n(2n 1)(2n 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
; |
|
||||||
7) |
1 3 5 7 ... ( 1)n (2n 1) ( 1)n n; |
||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(2n 1) ; |
||||||||||||||
8) |
1 3 |
3 5 |
(2n 1)(2n 1) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 2 3 2 3 4 ... n(n 1)(n 2) |
n(n 1)(n 2)(n 3) |
|
||||||||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
; |
||||||||
|
12 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
n(n 1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 1)(2n 1) |
2(2n 1) . |
||||||||||||||||||
10) 1 3 |
|
3 5 |
|
|
|
|
6. ГЛОССАРИЙ
Биекция ― всюду определенное, функциональное, инъективное и сюръективное соответствие.
Бинарная операция ― отображение из декартова квадрата множества А в множество А.
Высказывание ― повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Метод математической индукции ― метод доказатель-
ства теорем, основанный на аксиомах Пеано натурального ряда. n-местный предикат ― логическая функция от n пере-
менных, принимающая значения из множества {0,1}.
Отношение эквивалентности ― рефлексивное, симмет-
ричное и транзитивное отношение.
75
Тавтология ― логический закон.
Теорема ― высказывание, истинность которого устанавливается на основе доказательства, проводимого с помощью законов логики.
Фактор-множество |
― совокупность всех смежных |
|
классов множества А по отношению/ |
эквивалентности . |
7.ОСНОВНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
7.1.Основная литература
1.Моторинский, Ю. А., Пайсон, Б. Д. Вводный курс математики [Текст] / Ю. А. Моторинский, Б. Д. Пайсон. – Барнаул: изд. БГПУ, 2005, 70 с.
2.Пуркина, В. Ф. Вводный курс в математику [Текст] / В. Ф. Пуркина. – Горно-Алтайск: РИО «Универ-Принт», 2001, 40 с.
7.2.Дополнительная литература
1.Вернер, А. Л. Вводные лекции по математике [Текст] / А. Л. Вернер. – Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1975, 156 с.
2.Гибш, И. А. Алгебра [Текст] / И. А. Гибш. – М.: Учпедгиз, 1960, 664 с.
3. |
Туманов, С. |
И. Элементарная алгебра [Текст] / |
|
С. И. Туманов. – М.: Учпедгиз, 1960, 686 с. |
|
4. |
Шахно, К. У. |
Элементарная математика для окончивших |
|
среднюю школу [Текст] /К. У. Шахно. – Л.: изд. Ленин- |
|
|
градского университета, 1976, 432 с. |
76
Для заметок
77
Для заметок
78
Для заметок
79
Учебное издание
Элементарная математика (вводный курс в математику)
Учебно-методический комплекс
Составители: Пуркина Валентина Федоровна
Кайгородов Евгений Владимирович
Подписано в печать 11.01.2010. Формат 60*84/16 Бумага офсетная. Усл.печ.л. – 5,0
Заказ №2. Тираж 50 экз.
РИО Горно-Алтайского госуниверситета, 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1
Отпечатано полиграфическим отделом Горно-Алтайского госуниверситета, 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1
80