1.2. Основные понятия управления запасами и их обозначения

Анализ литературы по теории управления запасами показал, что каждый автор вводит собственные обозначения теории управления запасами. В данной дипломной работе будут использоваться следующие понятия и их обозначения. Обозначения, не вошедшие в этот пункт, но специфичные для отдельных моделей будут описаны в соответствующих пунктах.

Скорость расходования запасов со склада (d) ед./ед.времени (спрос, потребление) – потребность в сырье со склада. (может быть детерминированным или случайным)

Объем партии пополнения (q). При периодическом пополнении и случайном исчерпании запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ обычно подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня – так называемой точки заказа. Пополнение склада может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания запасов, т.е. снижения их до некоторого уровня.

Время доставки (t) ед. времени. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно. В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный или случайный интервал времени.

Цена товара (c) у.е. за 1 единицу товара. От нее зависит стоимость поставки и общие издержки.

Организационные издержки (s) у.е. за одну партию товара. Будем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т.е. от количества единиц товара в одной партии.

Издержки хранения (h) у.е. за 1 ед. товара в ед. времени. В большинстве моделей считают объем склада практически не ограниченным, а в качестве контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом полагают, что за хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.

Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т.п. Эти убытки и называют штрафом за дефицит.

Структура склада. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т.п.

В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т.п.) и затраты на штрафы.

1.3. Основные модели управления запасами

Основными моделями управления запасами являются модель Уилсона, модель производственных поставок, модель поставок, учитывающая скидки, модель с учетом неудовлетворенных требований, модель управления запасами при случайном спросе, модель управления запасами с ограничениями на складские помещения.

Охарактеризуем каждую из них.

1.3.1. Модель Уилсона.

Рассмотрение моделей управления запасами начнем с простейшего случая.

Модель Уилсона, в определенном смысле классическая, основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, который минимизирует расходы на оформление заказа, доставку и хранение товара.

Экономическая партия товара вычисляется при следующих упрощениях реальной ситуации:

• уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, и в тот момент, когда все запасы товара исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии;

• выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения равного q;

• накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине;

• ежедневная стоимость хранения единицы товара равна постоянной величине.

Данная политика проводимая складом характерна для тех случаев, когда интенсивность потребления запасов близка к постоянной величине, а поставки производятся регулярно.

Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предложениях: спрос d в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты s на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют h. На рисунке показана динамика изменения уровня запасов.

q

0

t

В

Рис. 2.1

ходные данные - параметры c, s, d, h считают заданными.

Годовая интенсивность спроса равна d, а цена единицы товара – с, то общая стоимость товара в год равна: c*d.

В одной партии q единиц товара, а годовой спрос равен d, то число поставок равно d/q. В течение года организационные издержки равны: .

Средний уровень запаса равен отношению площади под графиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q/2. Поскольку годовые издержки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляют qh/2.

Таким образом, общие издержки C вычисляются по формуле:

С = cd + + .

Требуется найти такое число q*, чтобы функция С = С(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q*.

График функции С = С(q)

Для нахождения точки q* функции С = С(q) найдем ее производную:

С'(q) = (cd)' + + = – + .

Приравнивая С'(q) к нулю, получаем – + = 0.

Отсюда находим q*:

q* =

Эту формулу называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, поставляем значение q* в соответствующие выражение. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые t единиц времени.

1.3.2. Модель производственных поставок.

В основной модели предполагалось, что поступление товаров на склад происходит мгновенно. Это предположение достаточно хорошо отражает ситуацию, когда товар поставляется в течение одного дня (или ночи). Если товары поставляются с работающей производственной линии, необходимо модифицировать основную модель. В этом случае к параметрам c, d, s, и h добавляется еще один – производительность производственной линии р (единиц товара в год). Будем считать ее заданной и постоянной.

Эта новая модель называется моделью производственных поставок. Величина q – по-прежнему размер партии. В начале каждого цикла происходит "подключение" к производственной линии, которое продолжается до накопления q единиц товара. После этого пополнения запасов не происходит до тех пор, пока не возникнет дефицит.

График функции изменения запаса имеет вид, изображенный на рис. 3.

Общие издержки С(q), как и в основной модели, состоят из трех частей.

А. Общая стоимость товара в год равна: cd.

В. Годовые организационные издержки равны: .

Q

M

M/2

t



Производство /

использование

Использование

рис

В. Издержки на хранение вычисляются следующим образом. Пусть  – время поставки.(рис) В течение этого времени происходит как пополнение (с интенсивностью р), так и расходование (с интенсивностью d) запаса. Увеличение запаса происходит со скоростью р – d. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса максимальный его уровень М вычисляется по формуле: М = (р – d)

(заметим, что М < q).

Кроме того, за время  при интенсивности производства р произведено q единиц товара, т.е. р = q. Из последних двух равенств следует, что

М = (р – d).

Средний уровень запаса, как и в основной модели, равен половине максимального, т.е. М/2. Таким образом, издержки на хранение запаса равны:

.

Общие издержки вычисляются по формуле:

С = cd + + .

Оптимальный размер поставок q* получаем из уравнения:

С'(q) = – + = 0.

Имеем: q* = . (3)

1.3.3. Модель поставок, учитывающая скидки.

Рассмотрим ситуацию, описываемую в целом основной моделью, но с одной особенностью – товар можно поставлять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик. Иными словами, если размер партии q не менее заданного числа q₀, товар поставляется по цене с₀ < с.

Функция общих издержек С(q) задается в таком случае следующим образом:

C(q) =

cd + + , если q < q₀,

c₀d + + , если q  q₀.

Нетрудно увидеть, что функция С(q) в точке q = q₀ разрывна.

Обе функции:

f(q) = cd + + и f₀(q) = c₀d + + имеют минимум в точке, где f '(q) = f₀'(q) = 0, т.е. в точке = .

Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален, следует сравнить значения С(q) в точках и q₀, и та точка, где функция С(q) принимает меньшее значение, будет оптимальным размером партии q* в модели поставок со скидкой (см. рис. ниже).

Замечание. Может случиться так, что С() = С(q₀). Тогда q* = = q₀.

`

q₀ q₀

q* = q₀ рис q* = _рис