Транспортная задача

На трех станциях отправления имеется соответственно 30, 50, и 20 ед. однородного груза, который нужно доставить в четыре пункта назначения согласно их потребностям. Эти данные, а также стоимость перевозки единицыгруза от каждой станции отправления к каждому пункту назначения указаны в таблице. Составить план перевозок грузов, чтобы затраты на эти перевозки были минимальными.

Пункты отправления	Запасы груза	Пункты назначения
	30	1	8	2	3
	50	4	7	5	1
	20	5	3	4	4
Потребности		15	35	40	30

Решение.

Этап 1.

Часто условие транспортной задачи оформляют матрицей:

1	8	2	3	30
4	7	5	1	50
5	3	4	4	20
15	35	40	30

Построим математическую модель транспортной задачи.

1. «Составить план перевозок грузов» - значит определитьсколько, от куда и куданадо перевезти груза, чтобы достичь поставленной цели - «затраты на эти перевозки были минимальными». Введем управляющие переменные:- количество груза, перевозимого из пунктав пункт().

2.Стоимость этой перевозки составит. Тогда целевая функция - суммарные затраты, связанные с реализацией всего плана перевозок – запишется выражением:

в общем виде , где

в нашей задаче

3. Для построения системы ограничений проверим, является ли задача сбалансированной.

Суммарная мощность поставщиковед Суммарная мощность потребителей

Следовательно, условие сбалансированности не выполнено.

4.Запишем систему ограничений:

По потребителю: мощности поставщиков меньше мощности потребителей, следовательно, кто-то из потребителей получит груза меньше, чем его потребность.

Количество груза, которое потребитель действительно получит запишется выражением:. Так как это меньше, чем его потребность, ограничение будет иметь вид:.

Аналогично строятся ограничения по другим потребителям. Так как в задаче заранее не оговаривается, потребности какого потребителя не будут удовлетворены, знак поставим в ограничениях по всем потребителям. Получим систему ограничений по потребителю:

По поставщику:весь имеющийся на станции отправления груз будет вывезен (т.е.):

;

Прямые ограничения .

Этап 2.

1.Подготовим форму для ввода исходных данных (Рис 15.),

В нашем примере матрица затрат по доставке груза с конкретной станции отправления каждому потребителю вводится в ячейки блока В3:E5. В ячейках В6:E6 указываются потребностив пунктах назначения, мощностипоставщиковзаписаны в блокеF3:F5.

Рис. 15 Ввод исходных данных.

2.Зарезервируем изменяемые ячейки, в которых после решения задачи будет находиться оптимальный план перевозок. Размерность этого массиваобязательнодолжна совпадать с размерностью матрицы затрат: выделим блок ячеекI3:L5 (можно ввести в эти ячейки «1» ) (рис. 16).

Рис 16. Создание формы для ввода условий задачи.

3. Введем зависимость для целевой функции(рис. 17). Оптимальное значение целевой функции будет помещено в ячейке В8:

• Курсор в ячейку В8 .

• Мастер функций fx / Математические / СУММПРОИЗВ(В3:E5;I3:L5)

Рис. 17 Ввод зависимости для целевой функции

3. Введем зависимости ограничений, стоящие в левых частях ограничений.

- вводим условия реализации мощностей поставщиков(рис 18.):

• Курсор в ячейку М3.

• Мастер функций fx / Математические / СУММ(I3:L3)

• Курсор в ячейку М3.

• Растянуть (копировать) ячейку М3 в ячейки М4 и М5.

Рис. 18. Ввод зависимостей ограничений по поставщикам.

- вводим зависимостей ограничений по потребителям(рис. 19):

• курсор в ячейку I6.;

• Мастер функций fx / Математические / СУММ(I3:I5)

• Курсор в ячейку I6.

• Растянуть (копировать) ячейку I6 в ячейкиJ6,K6 иL6.

Рис. 19. Ввод зависимостей ограничений по потребителям.

На этом ввод зависимостей закончен.

Этап 3. Запуск программы Поиск решений

После выбора команд Поиск решенияпоявится диалоговое окно Поиск решения.

• Назначение целевой ячейки: курсор в поле Установить целевую ячейку.. Левой кнопкой мыши щелкнуть на ячейке В8.

• Ввести направление целевой функции: минимальному значению.

• Ввести адреса искомых переменных: курсор в поле Изменяя ячейки. . Выделить мышью адреса ячеекI3:L5.

• Ввести ограничения:

  • курсор в поле Ограничения . Выбрать режимДобавить.

  • курсор в поле Ссылка на ячейку

  • выбрать мышью ячейки I6:L6

  • ввести знак ограничения <=

  • курсор в правое окно Ограничение .

  • указать мышью адреса В6:E6

  • 

Остальные ограничения ввести аналогично. В результате этих действий окно Поиск решенийбудет выглядеть, как представлено на рис 20.

Рис. 20. Введены все ограничения.

• Выбрать параметрымодели: рис 4.

Этап 4. Выполнить.

На экране диалоговое окно Результат поиска решения (рис.18.) .

Рис.21. Решение найдено.

Найденный план перевозок означает, что общая стоимость перевозок составит 235 ден.ед., если

ед. груза перевести со станции 1 потребителю 3;

ед. груза перевести со станции 2 потребителю 1;

ед. груза перевести со станции 2 потребителю 3;

ед. груза перевести со станции 2 потребителю 4;

ед. груза перевести со станции 3 потребителю 2.

Неудовлетворены будут потребители и, т.к. они получат груза меньше, чем составляют их потребности. Так, например, потребностьсоставляет 35 ед. груза (ячейкаC6), а получит он только 20 ед. (ячейкаJ6).

Остальные потребители удовлетворены полностью.

Вопросы:

1. Сколько груза должно быть перевезено из А2 в П1?

2. С кем работает поставщик А2?

3. С кем работает потребитель П4?

4. Измените модель, добавив условие:

1. Потребности П2 обязательно должны быть удовлетворены. (F=265)

2. Запрещены перевозки в направлении А2 –П3.(F=245)

3. В направлении А3—П1 необходимо перевезти не менее 5 тонн.(F=250)

4. Возможности А3 стали равны 50; (F=290)