Теоретические основы базирования деталей и расчета размерных цепей при механической обработке (Корчак, 2006)

мыкающего звена; его допуск; координату середины поля допуска замыкающего звена; значения верхнего и нижнего отклонений.

Используем приведенные выше расчетные уравнения для решения проверочной задачи по рис. 4.1 (см. с. 63).

Значения составляющих размеров и их отклонений:

А1=14 ±0,09 ; А2=46 −0,62 ; А3=9 +0,22 ; А4=25 +0,52 ; А5=60 −0,12 ; А6=11 +0,18 мм.

Предельные значения исходного звена: А∆ min(ис)=0,2 мм; А∆ max(ис)=1,3 мм. Номинальный расчетный размер замыкающего звена:

А∆ =+А1–А2+А3–А4+А5–А6=+14–46+9–25+60–11=1 мм.

Для определения wА∆ , ∆ wА∆ , воА∆ и ноА∆ воспользуемся данными хорошо

отлаженного производства.

Коэффициент риска равен 3 (соответствует проценту риска Р=0,27%), а коэф-

фициент относительного рассеяния λi2 =1/6=0,167 (соответствует серийному производству).

Тогда поле рассеяния замыкающего звена определяется по уравнению (4.10).

wА∆ =3 0,167(0,182 +0,622 +0,222 +0,522 +0,122 +0,182 ) =1,08 мм.

Коoрдината середины поля рассеяния:

=0+0,31+0,11–0,26–0,06–0,09=+0,01 мм.

Верхнее и нижнее предельные отклонения:

воА∆ = ∆ wА∆ +wА∆ /2=+0,01+1,08/2=+0,55 мм; ноА∆ = ∆ wА∆ –wА∆ /2=+0,01–1,08/2=–0,53 мм.

Таким образом, А∆ =1 +0,55 ; А∆ min=0,47; А∆ max=1,55 мм.

−0,53

Запасы: Зап по min=А∆ min–А∆ min(ис)=0,47–0,2=+0,27 мм; Зап по max=А∆ max(ис)–А∆ max=1,3–1,55=–0,25 мм.

Графическое изображение замыкающего звена на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Графическое изображение звена А∆ по рис. 4.1 (см. с. 63)

70

Поле рассеяния при вероятностном методе решения задачи wА∆ =1,08 мм меньше поля допуска исходного звена ТА∆ =1,3–0,2=1,1 мм, но сдвинуто вправо отри-

цательным запасом по max. Решая прямую задачу, можно поместить поле рассеяния внутри поля допуска исходного звена и избавиться от брака.

4.6. Выбор метода решения размерных цепей

Метод полной взаимозаменяемости исключает объективно существующие закономерности распределения производственных погрешностей. Он базируется на допущении возможности неблагоприятного сочетания в размерной цепи детали или узла крайних значений всех составляющих звеньев. В действительности такое сочетание маловероятно и расчеты по этому методу приводят к большим запасам точности.

Метод расчета на максимум-минимум дает полную гарантию от брака по неточности замыкающего звена, при его применении отсутствует необходимость допускать при расчете хотя бы небольшой процент риска.

Вероятностный метод позволяет рассчитывать допуски составляющих звеньев без излишних запасов. В результате обработка деталей с допусками, рассчитанными по вероятностному методу, более экономична, чем при расчете по методу максимумаминимума. Но у вероятностного метода есть существенные недостатки: расчет не дает полной гарантии от возможного брака по точности замыкающего звена; расчет является сравнительно сложным; при его использовании увеличивается трудоемкость вычислительных работ.

Применяя метод полной взаимозаменяемости, конструктор или технолог несет ответственность за правильность и точность расчета. А при использовании вероятностного метода решения он несет ответственность за правильность принятых значений коэффициентов.

На выбор метода решения размерных цепей влияют тип производства, степень проработки и стабильности технологических процессов и тип замыкающего звена (чертежный размер, зазор, техническое требование или припуск на обработку). На эффективность использования вероятностного метода решения размерных цепей существенно влияет число составляющих звеньев в цепи: чем их больше, тем экономически выгоднее применять вероятностный метод.

Если число составляющих звеньев размерной цепи меньше или равно 4, то расчет цепи следует выполнять по методу максимума-минимума. При числе составляющих звеньев равном или большем 5 используют вероятностный метод расчета.

4.7.Последовательность расчетов размерных цепей

4.7.1.Последовательность решения обратной (проверочной) задачи

1.Четко формулируется задача.

2.Рассчитывается номинал замыкающего звена (уравнение (4.2)).

3.При теоретических расчетах:

рассчитывают координату середины поля допуска замыкающего звена ∆ 0А∆

(уравнение (4.19));

рассчитывают величину поля допуска замыкающего звена ТА∆ (уравнение (4.6) и (4.9)) и его предельные отклонения воА∆ и ноА∆ (уравнения (4.15) и (4.16));

рассчитывают возможный риск выхода размера замыкающего звена за пределы заданного допуска (при расчетах на основе теории вероятностей).

4. При расчетах с учетом фактических данных:

определяют поле рассеяния ∆ wА∆ (уравнение (4.6.1)), координаты их середин ∆ 0Аi (уравнение (4.14)) и, если необходимо, строят кривые рассеяния всех звеньев;

71

определяют коэффициенты относительного рассеяния составляющих звеньев; рассчитывают поле рассеяния wА∆ (уравнение (4.9));

рассчитывают возможную координату середины поля рассеяния замыкающего зве-

на (уравнения (4.19) и (4.19.1));

при необходимости рассчитывают возможный выход поля рассеяния за пределы поля допуска (запасы по минимальному и максимальному предельным размерам).

4.7.2. Последовательность решения прямой (проектной) задачи

1.Формулируется задача и устанавливается замыкающее (исходное) звено.

2.Исходя из поставленной задачи (на основе аналитических расчетов, экспериментальных исследований, опыта и т. д.), устанавливают: номинальный размер А∆ ; коор-

динату середины поля допуска ∆ 0А∆ ; допуск ТА∆ , предельные значения А∆ min и

А∆ max или предельные отклонения замыкающего звена.

3.Выявляют составляющие звенья и строят схему размерной цепи, составляют ее уравнение.

4.Рассчитывают номинальные размеры всех составляющих звеньев (уравнение

(4.2)).

5.Выбирают метод достижения требуемой точности замыкающего звена, экономичный в данных производственных условиях.

6.Рассчитывают и устанавливают допуски, координаты середин полей допусков и предельные отклонения:

а) при методе полной взаимозаменяемости:

на основании технико-экономических соображений устанавливают допуск на размер каждого из составляющих звеньев;

проверяют правильность установки допусков (уравнение (4.2)); устанавливают координаты середин полей допусков составляющих звеньев (урав-

нение (4.14)), за исключением одного, для которого координата середины поля допуска рассчитывается решением уравнения с одним неизвестным;

рассчитывают верхнее и нижнее отклонения (уравнения (4.15) и (4.16)). б) при методе неполной взаимозаменяемости (вероятностном): принимают допустимый процент риска (из экономических соображений);

выбирают предполагаемый закон распределения каждого из звеньев с учетом особенностей технологического процесса обработки данной детали;

устанавливают допуск на размер каждого составляющего звена (на основе техникоэкономических соображений);

проверяют правильность установленных допусков (уравнение (4.9)); устанавливают координаты середин полей допусков для составляющих звеньев,

недостающую координату определяют расчетом (уравнение (4.14)); рассчитывают предельные отклонения (уравнения (4.15) и (4.16)). в) при методе групповой взаимозаменяемости:

устанавливают "производственный" допуск Т'А∆ >ТА∆ замыкающего звена по урав-

нению Т' ∆ =N ∆ Т∆ (по технико-экономическим соображениям), где N — число групп, на

которые будут рассортированы составляющие звенья;

рассчитывают производственный допуск Т'Аi на размер каждого составляющего звена с соблюдением условия Σ Т'i(ув)= Σ Т'i(ум), где Т'i(ув) и Т'i(ум) обозначены производственные допуски увеличивающих и уменьшающих звеньев;

рассчитывают координаты середин полей допусков составляющих звеньев в каждой из групп (уравнение (4.14));

на повороты и отклонения формы поверхностей деталей допуски устанавливают, как и при методе полной взаимозаменяемости.

72

г) при методе пригонки: выбирают компенсирующее звено;

устанавливают экономичные в данных производственных условиях допуски на размеры составляющих звеньев и координаты середин полей допусков;

рассчитывают возможную наибольшую компенсацию ТК; рассчитывают величину поправки ∆ К;

вносят поправку в координату середины поля допуска компенсирующего звена. д) при методе регулирования:

выбирают компенсирующее звено, которое конструктивно можно оформить в виде неподвижного или подвижного компенсатора.

При использовании неподвижного компенсатора:

устанавливают допуски на размеры составляющих звеньев, экономически приемлемые в данных производственных условиях, и определяют производственный допуск Т' ∆ замыкающего звена; рассчитывают возможную наибольшую компенсацию ТК; рас-

считывают число ступеней неподвижных компенсаторов; рассчитывают координаты середин полей допусков; рассчитывают размеры неподвижных компенсаторов; рассчитывают количество неподвижных компенсаторов каждой ступени.

Часто конструктор или технолог встречается с решением смешанной задачи. ГОСТ различает решение прямой задачи и обратной задач.

Например. В прямой задаче исходное звено — зазор имеет предельные величины (А∆ min=0,2; А∆ max=1,3 мм) без номинального размера, а составляющие размеры мо-

гут иметь:

номинальные размеры, ориентировочно назначенные из масштаба и габаритных размеров детали с учетом использования таблиц нормальных линейных размеров, углов и уклонов;

допуски (с учетом поля допуска замыкающего звена) табличных значений квалитетов и степени сложности достижения требуемой точности;

предельные отклонения, проставленные с учетом величины выбранного допуска в тело поверхности детали или симметрично.

Такие же варианты могут иметь место при решении обратной задачи.

Поэтому необходимо показать расчетные уравнения, которые способствуют решению смешанных задач.

Номинальное значение замыкающего звена:

4.8. Прямая задача.

Примеры расчетов конструкторских размерных цепей

4.8.1. Подетальные размерные цепи

4.8.1.1. Пример 1

На рис. 4.5 (см. с. 74) помещен эскиз втулки с линейными размерами А1 и А2. Сохраняя авторское право конструктора на принятую точность и порядок проста-

новки чертежных размеров, рассчитать размеры А1 и А3 (см. рис. 4.6, с. 74) с учетом получения годной детали по эскизу (см. рис. 4.5). Допуски размеров А1 и А2 соответствуют 14 квалитету точности: ТА1=0,43 мм, ТА2=0,87 мм.

73

на:

А2 ∆ =А3–А1; ТА2 ∆ =ТА3+ТА1.

Допуск замыкающего звена равен сумме допусков составляющих звеньев, а это значит, что допуск ТА2 ∆ =0,87 мм необходимо распределить между двумя допусками

ТА3 и ТА1. Для них можно выбрать среднюю величину допуска:

ТАiср=ТА2 ∆ /2=0,87/2=0,435 мм.

С учетом таблицы допусков для номинала А1=16 мм ближайший квалитет 13 с точностью 0,27 мм (при условии, что поле рассеяния wА1=0,27 не должно превышать ТАiср=0,435 мм).

Номинальное значение А3 будет определено из последующих расчетов, но его примерная величина рассчитывается из номинальных размеров А1 и А2 по рис. 4.5:

А3 ∆ =А1+А2=16+82=98 мм.

В табличном интервале размеров 80…120 мм 12 квалитет ближайший для средней точности ТАiср=0,435 мм и соответствует значению wА3=0,35 мм.

Поле рассеяния для выбранных значений:

wА2 ∆ =wА3+wА1=0,35+0,27=0,62 мм.

Запас по полю допуска ТА2 ∆ –wА2 ∆ =0,87–0,62=0,25 мм.

Следовательно, допуск на размер А3 можно расширить до 0,35+0,25=0,6 мм. Ближайшая точность для интервала размеров 80…150, куда попадает размер

А3=98 мм, соответствует 13 квалитету и равна 0,54 мм. Поле рассеяния звеньев с уче-

том wА3=0,54 мм:

wА2 ∆ =wА3+wА1=0,54+0,27=0,81 мм.

Поле рассеяния wА2 ∆ =0,81 мм меньше поля допуска замыкающего звена ТА2 ∆ =0,87 мм. Положительный запас разрешает приступить к следующим расчетам.

Выбранные точности позволяют определить предельные отклонения для размеров А1 и А3. Эти размеры могут быть отнесены к системе вала с простановкой допуска в тело поверхности детали. Чертежный размер А1=16 −0,36 мм, получив новую точность

wА1=0,27 мм, может быть записан как 16 −0,27 мм. Поле рассеяния вновь сформиро-

ванного размера сдвинуто вправо до совмещения с максимальным предельным значением чертежного размера. Графическая схема рассмотренного варианта показана на рис. 4.7 (см. вариант 1, с. 75).

74

Если поле рассеяния wА1=0,27 мм сдвинуть влево до совмещения с минимальным предельным значением чертежного размера, то вновь сформированный размер, записанный с простановкой допуска в тело поверхности детали, получит номинальное значение, равное максимально предельному из расчета:

А1max=А1min+wА1=15,57+0,27=15,84 мм (вариант 3).

По варианту 3 А1=15,84 −0,27 мм.

При положительной величине запаса поля допуска относительно поля рассеяния предпочтение отдается симметричному расположению поля рассеяния.

Запас ТА1–wА1=0,43–0,27=0,16 мм распределяется на равные части по 0,08 мм от предельных значений размеров. Рассчитаем номинальное значение нового размера через среднюю величину чертежного и поле рассеяния wА1=0,27 мм:

А1ср=А1max–ТА1/2=А1min+ТА1/2=16,00–0,43/2=15,785 мм;

чертежный А1=16 −0,43 =15,785 ±0,215 , новый А1=15,785 ±0,135=15,92 −0,27 мм.

Симметричное расположение поля рассеяния внутри поля допуска показано на рис. 4.7 (см. вариант 2, с. 75).

При крайних положениях поля рассеяния (варианты 1 и 3) номинальные величины вновь сформированных размеров потеряли значение чертежного номинала А1=16 мм, что не всегда удобно для быстрой и правильной оценки полученного размера.

Запишем вновь сформированные размеры с номинальным значением А1=16 мм и полем рассеяния wА1=0,27 мм для всех трех вариантов.

Рис. 4.7. Варианты графического изображения звена А1

Вариант 1.

Крайнее правое положение поля рассеяния. А1=16,00 −0,27 мм; Вариант 2.

Симметричное расположение поля рассеяния размера. А1=15,92 −0,27 =16 −0,08 .

−0,35

Вариант 3.

Крайнее левое положение поля рассеяния. А1=15,84 −0,27 =16 −−00,,1643 мм.

75

Все варианты могут быть использованы при определении составляющего звена А3 в поставленной задаче по пересчету чертежных размеров для эскиза (см. рис. 4.6, с. 74), и все полученные результаты будут отвечать условию задачи. Выбор варианта расчета зависит от многих факторов: требований ГОСТ; возможности экономии материала; квалификации специалистов; традиций отрасли, предприятия, отдела и т. д.

Продолжим расчеты для определения размера А3 из уравнения с замыкающим звеном А2 ∆ , используя размер А1 по варианту 3. Этот вариант позволяет осуществить

частичную экономию материала детали, так как в расчетах участвует только часть чертежного размера (см. рис. 4.7).

Точность размера А3–wА3=0,54 мм. Размер может быть отнесен к "валам", а это значит, что точность преобразуется в нижнее предельное отклонение — ноА3=–0,54 мм.

Уравнение примет вид:

А2 ∆ =А3 −0,54 –А1 −−00,,1643 =А3 −0,54 –16 −−00,,1643 мм.

При одинаковых предельных значениях замыкающего звена А2 ∆ min и А2 ∆ max его номинал А2 ∆ и предельные отклонения воА2 ∆ определяются отклонениями

иноминалами составляющих звеньев.

Вуравнении неизвестны два номинала — А2 ∆ и А3.

мм:

А2min=А2+ноА2=82+(–0,435)=81,565 мм.

Поле рассеяния и его половина: wА2 ∆ =0,81; wА2 ∆ /2=0,405 мм. Коoрдината середины поля рассеяния из уравнения

А2 ∆ =А3 −0,54 –16 −0,16 . ∆ wА2 ∆ = ∆ wА3– ∆ wА1=

−0,43

Расчетный номинал: А2 ∆ =81,565+0,405–(+0,025)=81,945 мм.

Подставив в уравнение А2 ∆ значения номиналов, получим

81,945=А3–16; А3=97,945 −0,54 мм.

Нижнее отклонение для А3 было выбрано ранее и учитывалось в расчетах по определению координаты середины поля рассеяния.

Три знака после запятой в значении номинала А3 требуют округления, которое возможно только в сторону увеличения номинала, чтобы минимальный предельный размер расчетного замыкающего звена не стал меньше меньшего.

Из этого положения выводим следующие правила:

при определении номинала составляющего звена с использованием уравнений (4.19) и (4.19.1), в которых рассчитывается номинальное значение замыкающего звена от его минимального предельного размера, номинал увеличивающего звена увеличивают, а номинал уменьшающего составляющего звена уменьшают;

для замыкающего звена, заданного двумя предельными значениями (полем допуска), на округление используется только положительный запас по допуску:

Зап по доп=ТА2–wА2 ∆ . Запас по допуску в рассматриваемом примере составил:

Зап по доп=ТА2 ∆ –wА2 ∆ =0,87–0,81=+0,06 мм.

Значения номинала А3=97,945 мм увеличивающего звена составляют: при округлении до второго знака после запятой А3=97,95.

Минимальное предельное значение расчетного замыкающего звена увеличилось

Максимальное предельное значение —

А∆ max+wА2 ∆ =81,57+0,81=82,38 мм (см. рис. 4.9);

при округлении до первого знака после запятой А3=98. Минимальное предельное значение расчетного замыкающего звена увеличилось на 0,055 мм (не более 0,06 мм): 81,565+0,055=81,62 мм. С учетом поля рассеяния размера А2 wА2 ∆ =0,81 мм макси-

мальный предельный размер замыкающего звена А∆ max=81,62+0,81=82,43 мм.

Увеличение номинального размера увеличивающего составляющего звена А3 на 0,005 мм приводит к увеличению номинала расчетного замыкающего звена А2 ∆ на та-

кую же величину. Первоначальное значение А2 ∆ увеличилось:

А2 ∆ =81,945+0,005=81,95 мм.

Верхнее и нижнее предельные отклонения вычисляют по уравнениям

(4.15.1)…(4.16.1):

воА2 ∆ = ∆ wА2 ∆ +wА2 ∆ /2=+0,025+0,81/2=+0,43 мм; ноА2 ∆ = ∆ wА2 ∆ –wА2 ∆ /2=+0,025–0,81/2=–0,38 мм.

Окончательный размер А2 ∆ =81,95 +−00,,4338 мм, а исходный — А2 =82 ±0,435 мм. Запасы по минимальному и максимальному предельным значениям:

Зап по min =А2 ∆ min–А2min=81,57–81,565=+0,005 мм; Зап по max=А2max–А2 ∆ min=82,435–82,38=+0,055 мм.

Окончательный расчетный размер А3=97,95 −0,54 мм.

На эскизе рис. 4.5 (см. с. 74) размер А3 ∆ — замыкающее звено.

Решением обратной задачи можно рассчитать его величину и сравнить с размером А3 (см. рис. 4.6, с. 74).

А3 ∆ =А1+А2=16 −0,43 +82 ±0,435 =98 +0,435 мм.

−0,865

Замыкающее звено в исходном варианте чертежного размера (см. рис. 4.5, с. 74) могло иметь колебания предельных размеров:

ТА3 ∆ =ТА1+ТА2=0,43+0,87=1,3 мм.

Изменение простановки размеров по эскизу (см. рис. 4.6, с. 74) потребовало ужесточение точности размера А1 с ТА1=0,43 до wА1=0,27.

Превращение замыкающего звена А3 ∆ в составляющее А3 звено привело к ужесточению размера с 1,3 мм до 0,54 мм.

4.8.1.2. Пример 2

Ранее предложена форма записи размерных цепей, в которой размерные связи всех размерных цепей кодируются цифрами от левой границы размерной связи, или линии отсчета размера, до правой границы, или противоположной стороны размерной линии. Код размерной связи, состоящий из цифр (групп цифр), разделенных пробелом, символизирует звено размерной цепи.

Квадратными скобками выделяются замыкающие звенья размерной цепи, круглыми — составляющие.

Кодирование и расчет размеров в примере 2 выполним в предложенной форме. Эскиз вала (см. рис. 4.10, с. 79) содержит линейные чертежные размеры: (1_2),

(2_3) и (1_4).

В процессе отработки вала на технологичность появилась необходимость при неизменной точности чертежных размеров изменить порядок их простановки (рис. 4.11).

Будем считать размеры на рис. 4.10 исходными, а на рис. 4.11 — расчетными. Поставленная задача будет решена, если:

поле рассеяния расчетного замыкающего звена [1_2] не будет превышать поле допуска исходного составляющего звена (1_2) (см. рис. 4.12 и 4.13, с. 79 и 81);

поле рассеяния расчетного замыкающего звена [1_4] не будет превышать поле допуска исходного составляющего звена (1_4).

78

Будем считать размеры на рис. 4.10 исходными, а на рис. 4.11 — расчетными. Поставленная задача будет решена, если:

поле рассеяния расчетного замыкающего звена [1_2] не будет превышать поле допуска исходного составляющего звена (1_2) (см. рис. 4.12 и 4.13);

поле рассеяния расчетного замыкающего звена [1_4] не будет превышать поле допуска исходного составляющего звена (1_4).

Рис. 4.12. Размерные схемы: а) исходный вариант; б) расчетный вариант

Номинал составляющего звена (1_3) (см. рис. 4.13, с. 81) формируется из чертежных размеров (1_2) и (2_3) (см. рис. 4.12). Его предварительная величина:

(1_3)=(1_2)+(2_3)=52+38=90 мм.

Расчетное поле рассеяния w(1_3) определяется из уравнений:

Т(1_2)=0,3=w[1_2]=w(1_3)+w(2_3); w(1_3)=w[1_2]–w(2_3).

Нет необходимости ужесточать допуск размера (2_3), который равен w(2_3)=0,062 мм (9 квалитет), следовательно, поле рассеяния размера (1_3) не должно превышать расчетную величину w(1_3)=0,3–0,062=0,238 мм.

Для интервала размеров 80…120 мм, куда входит предварительная величина размера (1_3)=90 мм, ближайший допуск 0,22 мм (11 квалитет). Допуск 0,22 мм не превышает w(1_3)=0,238 мм и принимается для последующих расчетов. Из расчетной схемы (см. рис. 4.13, с. 81) видно, что чертежный размер (1_4) формируется из расчетных

79